5 Fonctions logarithme et exponentielle 5 1 Fonction logarithme Comparaison de la fonction logarithme avec la fonction puissance en +∞ et en 0 En + ∞ lim
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Logarithme et Exponentielle : eln x = ln(ex) = x ln 1 = 0 ln(ab) = ln(a) + ln(b) ln(a/b ) = ln(a) − ln(b) ln(1/a) = − ln(a) ln( √a) = ln(a)/2 ln(aα) = α ln(a) e0 = 1 ex+y =
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La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur ℝ, à valeurs dans 0;+∞⎤⎦⎡⎣ La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction : ] [ ln: 0;+∞ →ℝ Donc par composée de limites, en posant X = lnx : lim x→a
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avec a ∈ R La proposition suivante donne les limites en +∞ des différentes fonctions exponentielles, puissances et logarithmes Elle donne aussi lim x→+∞
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La fonction exponentielle (de base e) et la fonction logarithme (népérien) sont des fonctions réciproques Croissance comparée et limites particulières lim
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On l'appelle la fonction exponentielle Démonstration Nous allons tout d'abord construire une fonction f qui convient On veut définir f(x) comme la limite de la
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Fonction exponentielle et fonction logarithmique 5 5 1 Rappel Nous nous sommes jusqu'à maintenant limités à l'étude des fonctions algébriques
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Comme xa/ln(x)b = g(ln(x)) la 2`eme en découle, d'apr`es le théor`eme sur la limite d'une application composée (2 25) (ii) découle de (i) car si x tend vers 0+ alors
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x = +∞ Du théorème de comparaison des limites, on en déduit que l' exponentielle admet une limite en +∞ et : lim
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Fiche technique sur les limites
1Fonctionsélémentaires
Les résultats suivants font référence dans de très nombreuses situations.1.1Limiteen+1et1
f(x)x n1 x npx1pxln(x)e xlim x!+1f(x)+10+10+1+1lim x!1f(x)npair+1 nimpair10non défininon défininon défini01.2Limiteen0
f(x)1 x n1pxln(x)lim x!0x>0f(x)+1+11 lim x!0x<0f(x)npair+1 nimpair1non défininon défini2Asymptotesparallèlesauxaxes Résultat surfInterprétation géométrique sur la courbeCflim x!1f(x)=lLa droitey=lest asymptote horizontale àCflimx!af(x)=1La droitex=aest asymptote verticale àCf3Opérationsurleslimitesetformesindéterminées
3.1Sommedefonctions
Sifa pour limitelll+11+1Siga pour limitel
0+11+111
alorsf+ga pour limitel+l0+11+11F. Ind.Paul Milan 1 sur
3Terminale ES
3.2Produitdefonctions
3.2Produitdefonctions
Sifa pour limitell,001
Siga pour limitel
0111alorsfga pour limitell01*F. ind.1**Appliquer la règle des signes