La fonction exponentielle (de base e) et la fonction logarithme (népérien) sont des fonctions réciproques Croissance comparée et limites particulières lim
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5 Fonctions logarithme et exponentielle 5 1 Fonction logarithme Comparaison de la fonction logarithme avec la fonction puissance en +∞ et en 0 En + ∞ lim
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Logarithme et Exponentielle : eln x = ln(ex) = x ln 1 = 0 ln(ab) = ln(a) + ln(b) ln(a/b ) = ln(a) − ln(b) ln(1/a) = − ln(a) ln( √a) = ln(a)/2 ln(aα) = α ln(a) e0 = 1 ex+y =
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La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur ℝ, à valeurs dans 0;+∞⎤⎦⎡⎣ La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction : ] [ ln: 0;+∞ →ℝ Donc par composée de limites, en posant X = lnx : lim x→a
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avec a ∈ R La proposition suivante donne les limites en +∞ des différentes fonctions exponentielles, puissances et logarithmes Elle donne aussi lim x→+∞
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La fonction exponentielle (de base e) et la fonction logarithme (népérien) sont des fonctions réciproques Croissance comparée et limites particulières lim
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On l'appelle la fonction exponentielle Démonstration Nous allons tout d'abord construire une fonction f qui convient On veut définir f(x) comme la limite de la
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Fonction exponentielle et fonction logarithmique 5 5 1 Rappel Nous nous sommes jusqu'à maintenant limités à l'étude des fonctions algébriques
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logarithme décimal : ST2A, ST2S Pré-requis : Etude de fonctions – limites – puissances Plan du cours 1 Fonctions exponentielles 2 Fonctions logarithmes 1
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Comme xa/ln(x)b = g(ln(x)) la 2`eme en découle, d'apr`es le théor`eme sur la limite d'une application composée (2 25) (ii) découle de (i) car si x tend vers 0+ alors
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x = +∞ Du théorème de comparaison des limites, on en déduit que l' exponentielle admet une limite en +∞ et : lim
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Exponentielleetlogarithme
Terminale S
Courbes représentatives
-1 -2 -31 2341 2 3 4 5-1-2-3-4-50
y= ln(x) e y= exp(x)? ?eFonction exponentielle
f(x) = exp(x) =ex définie surRà valeurs dans]0; +∞[
e 0= 1 e1=e≈2,718
(ex)?=ex (eu)?=u?eu lim x→-∞ex= 0+ lim x→+∞ex= +∞Fonction logarithme
f(x) = ln(x) définie sur]0; +∞[à valeurs dansR
ln(1) = 0 ln(e) = 1 (ln(x))?=1 x (ln(u))?=u? u lim x→0+ln(x) =-∞ lim x→+∞ln(x) = +∞Propriétés des exponentielles
a,betnsont des réels : ?Produit : ea×eb=ea+b ?Inverse :1 ea=e-a ?Quotient :ea eb=ea-b ?Puissance :(ea)n=ean ?Racine carrée : e12=⎷e
Propriétés des logarithmes
aetbsont des réels strictement positifs,nest un réel : ?Produit :ln(ab) = ln(a) + ln(b) ?Inverse :ln?1 a? =-ln(a) ?Quotient :ln?a b? = ln(a)-ln(b) ?Puissance :ln(an) =nln(a) ?Racine carrée :ln(⎷ a) =12ln(a)Lien exponentielleet logarithme
La fonction exponentielle (de base e) et la fonction logarithme (népérien) sont des fonctions réciproques : leurs courbes
représentatives sont symétriques par rapport à la premièrebissectrice (y=x) ?ln(expx) =xln(ex) =x ?exp(lnx) =xeln(x)=x ?expx=y??x= ln(y)ex=y??x= ln(y) ?xy= exp(yln(x))xy=eyln(x) Équations et d"inéquations avec des exponentielles u,vsont des réels,λest un réel strictement positif : ?eu=ev??u=veu=λ??u= ln(λ) ?eu>ev??u > veu> λ??u >ln(λ) Équations et d"inéquations avec des logarithmes u,vsont des réels strictement positifs,λest un réel : ?ln(u) = ln(v)??u=vln(u) =λ??u=eλ ?ln(u)>ln(v)??u > vln(u)> λ??u >eλ Croissance comparée et limites particulières limx→-∞xex= 0 limx→+∞e xx= +∞limx→0e x-1x= 1 limx→0+xln(x) = 0 limx→+∞ln(x)x= 0 limx→0ln(1 +x)x= 1quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47