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La technique consiste à mettre en facteur le prépondérant 4x2 en facteur sous la racine carrée Situation 4 Une somme contient des racines carrées, présente une 

[PDF] FONCTIONS 1) Limites 1-1 méthodes pour lever une

avec des racines carrées Exemple1 f(x) = x (√ x2 + 1 − x ) Quelle est la limite en +∞ ? On utilise souvent la quantité conjuguée pour écrire autrement une 

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ce point, avec dénominateur non nul; par définition de la continuité, la limite de notre racine cubique est un trinôme du second degré, dont le discriminant vaut  

[PDF] I Comparaison de la fonction ln et de la fonction racine carrée Soit

Pour tout x∈]0 ; ∞[,ln x x Relation 1 Remarque Les limites ne nous intéressent pas ici Nous voulons seulement comparer les fonctions La limite en 0 

[PDF] ANAL04 Limites - Maths54 - Free

Déter miner la limite, si elle existe en + ∞ puis en − ∞ Le discriminant du 4x2 + 2x +1 = +∞ puisqu'une racine carrée est toujours positive et lim x→− ∞

[PDF] Limites de fonctions 1 Théorie 2 Calculs

Exercice 3 Calculer lorsqu'elles existent les limites suivantes a) limx→0 Correction 1 Généralement pour calculer des limites faisant intervenir des sommes racines carrées, il est utile de faire intervenir “l'expression conjuguées” : √ a − √

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comme la fonction carré Celles dont C'est le dilemme de la racine carrée Nous optons Déterminons la limite de la fonction racine nième en +∞ Lorsque x 

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Terminale ESLimites remarquables de la fonction logarithme I Comparaison de la fonction ln et de la fonction racine carrée.

Soit la fonction f définie sur ]0 ; ∞[par fx=lnx-x1_ Fonction dérivée.

f'x=1 x-1

2xf'x=2-

x 2x

2_ Signe de la fonction dérivée.

On travaille sur

]0 ; ∞[donc 2x0et f ' à le même signe que son numérateur.

f'x0 sur ]0 ; 4[ et f'x0 sur ]4 ; ∞[3_ Tableau de variations.

La fonction atteint son maximum M en 4.

M=f4=ln4-20donc la fonction est négative sur son ensemble de définition.

Pour tout x∈

]0 ; ∞[,lnxx.Relation 1.

Remarque.

Les limites ne nous intéressent pas ici. Nous voulons seulement comparer les fonctions.

La limite en 0 de ln est

-∞et celle de la fonction racine est 0.

Donc la limite de f en 0 est -∞

Par contre, la limite en

∞se présente sous une forme indéterminée. On ne peut lever l'indétermination qu'en connaissant les limites remarquables de ln. C'est l'objet de ce cours. On aura la réponse à la fin du cours.

Thierry Vedelpage 1 sur 4www.amemath.net

Terminale ESLimites remarquables de la fonction logarithme

II_ Théorème des gendarmes.

Préambule.représente un nombre réel ou ∞ou -∞. lreprésente un nombre réel ou

∞ou -∞.Les fonctions f, g et h sont définies sur un intervalle ouvert non vide de la forme

] ; b[, où b est un réel, et on travaille exclusivement sur cet intervalle.

Remarque.

] ; b[=]b ; [1_ Enoncé.

Si pour tout

x∈] ; b[,gxfxhxSi limxgx=limxhx=l alors limxfx=l

Remarque. On peut avoir aussi des inégalités strictes.

Si pour tout

x∈] ; b[,gxfxhxSi limxgx=limxhx=l alors limxfx=l

N'oubliez pas que si

abalors ab.

2_ Cas particuliers.

a_ La limite est ∞.Si pour tout

x∈] ; b[,gxfxSi limxgx=∞ alors limxfx=∞

b_ La limite est -∞.

Si pour tout

x∈] ; b[,gxfxSi limxgx=-∞ alors limxfx=-∞

La démonstration n'est pas au programme. Nous n'avons pas, en terminale ES, de définition rigoureuse de la limite.

III_ Limite en ∞delnx

x.

On travaille sur

]1 ; ∞[Appliquons la relation 1, démontré au paragraphe I : lnxxet x > 0 donc lnx xx x=1 xx > 1 donc lnx x0et 0lnx x1 xThierry Vedelpage 2 sur 4www.amemath.net Terminale ESLimites remarquables de la fonction logarithme Appliquons le théorème des gendarmes sur l'intervalle ]1 ; ∞[: limx∞ x=∞ donc limx∞ 1 x=0limx∞0=0

Pour tout x de

]1 ; ∞[,0lnx x1xdonc limx∞lnx x=0

IV_ Limite en 0 de x ln x.

On travaille sur

]0 ; ∞[Posons y=1 xx > 0 donc y > 0.

Si x tend vers 0 alors y tend vers

limx0 xlnx=limy∞ 1 yln1 y=limy∞ 1 lny y=0V_ Limites remarquables.

1_ A savoir

limx∞lnx x=0 limx0xlnx=0

2_ Conséquences

Soit n∈ℕ*et x0

0n rappelle que x1

n =nx et nxn=xlnxn x=ln nxn n x=nlnn xn x=nlnn xn x

On pose y=n

x Quand x tend vers ∞alors y tend vers ∞ limx∞lnxn x=limx∞nlnn xn x=nlimx∞lnn xn x=nlimy∞lny y=0 limx∞ lnxnx=0De même, quand x tend vers 0 alors y tend vers 0

Thierry Vedelpage 3 sur 4www.amemath.net

Terminale ESLimites remarquables de la fonction logarithmelimx0 nxlnx=limx0 nnxlnnx=nlimx0 nxlnnx=nlimy0 ylny=0limx0n xlnx=0

3_ Comparaison des vitesses de croissance de fonctions de limite infinie.

a_

En∞Par ordre croissant.

lnx, . . . , 4x, 3x, x, x, x2, x3, . . . ,xnb_ En 0

Par ordre croissant.

lnx, . . . , 14 x, 13x, 1x, 1 x, 1 x2, 1 x3, . . . ,1 xn

Notez bien qu'on ne considère pas le signe.

VI_ Limites de fxen

∞.La fonction f est définie sur

]0 ; ∞[par fx=lnx-xOn a vu au I que la forme est indéterminée. On factorise par le terme dominant.

fx=lnx- x=xlnxx-1 limx∞ lnxnx=0 donc limx∞ lnx x=0 et limx∞lnx x-1=-1 limx∞ x=∞ donc limx∞ xlnx x-1=-∞ limx∞ fx=-∞Thierry Vedelpage 4 sur 4www.amemath.netquotesdbs_dbs7.pdfusesText_13