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Limites : exercices

Les réponses non détaillées aux questions sont disponibles à la fin du document

Exercice 1 :

Déterminer la limite en+¥de la fonctionfdans les cas suivants : (on précisera si la courbe defadmet une asymptôte horizontale en+¥) a)f(x) =x+px b)f(x) =1x px c)f(x) =1x 2+1 d)f(x) =1x+12 e)f(x) =1x +21
x 21

Exercice 2 :

Déterminer la limite en¥de la fonctionfdans les cas suivants : (on précisera si la courbe defadmet une asymptôte horizontale en¥) a)f(x) =1x 3x b)f(x) =x2+1x 2 c)f(x) =1x+32 d)f(x) =x+11x 2

Exercice 3 :

Déterminer les limites en¥et en+¥de la fonction polynômefdans les cas suivants : a)f(x) =2x2x+1 b)f(x) =3x3+2x1 c)f(x) =12 x3+5x27x+1

Exercice 4 :

Déterminer les limites en¥et en+¥de la fonction rationnellefdans les cas suivants : (on précisera si la courbe defadmet une asymptôte horizontale en¥ou en+¥) a)f(x) =4x12x+3 b)f(x) =x2+2x12x+3 c)f(x) =4x+1x 2+1

Exercice 5 :

Déterminer la limite ena(pourxa) de la fonctionfdans les cas suivants : (on précisera si la courbe defadmet une asymptôte verticale) a)f(x) =x+1x a=0 b)f(x) =3x2x+2a=2 c)f(x) =x2+x31xa=11S - Limites c

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Exercice 6 :

Soitfla fonction définie sur]1;+¥[parf(x) =x2+2x+1. a) Etudier les limites defen1(x>1)et en+¥. b) Montrer que la droiteDd"équationy=x+1 est une asymptôte oblique à la courbe defen+¥.

Exercice 7 :

fest une fonction définie sur]¥;2[[]2; 2[[]2;+¥[dont la courbe est représentée sur le graphique ci-dessous en rouge.

Les asymptotes à la courbe defsont signalées en bleu. ??Réponses exercice 1 : Par application directe des règles sur les opérations avec les limites : a) limx!+¥f(x) = +¥- pas d"asymptote horizontale b) lim x!+¥f(x) =¥- pas d"asymptote horizontale c) lim x!+¥f(x) =1 - asymptote horizontale d"équationy=1 d) lim x!+¥f(x) =2 - asymptote horizontale d"équationy=2 e) lim x!+¥f(x) =2 - asymptote horizontale d"équationy=2

Réponses exercice 2 :

Par application directe des règles sur les opérations avec les limites : a) limx!¥f(x) = +¥- pas d"asymptote horizontale b) lim x!¥f(x) = +¥- pas d"asymptote horizontale c) lim x!¥f(x) =2 - asymptote horizontale d"équationy=2 d) lim x!¥f(x) = +¥- pas d"asymptote horizontale2 c

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Réponses exercice 3 :

On utilise la règle pour les limites des fonctions polynomes en+¥et en¥. a) limx!+¥f(x) =limx!+¥2x2= +¥; limx!¥f(x) =limx!¥2x2= +¥ b) lim x!+¥f(x) =limx!+¥3x3= +¥; limx!¥f(x) =limx!+¥3x3=¥ c) lim x!+¥f(x) =limx!+¥12 x3=¥; limx!¥f(x) =limx!¥12 x3= +¥

Réponses exercice 4 :

On utilise la règle pour les limites des fonctions rationnelles en+¥et en¥. a) lim x!+¥f(x) =limx!+¥4x2x=limx!+¥2=2 ; limx!¥f(x) =limx!¥4x2x=limx!¥2=2 Asymptote horizontale d"équationy=2 en+¥et en¥. b) lim x!+¥f(x) =limx!+¥x

22x=limx!+¥12

x= +¥; limx!¥f(x) =limx!¥x

22x=limx!¥12

x=¥

Pas d"asymptote horizontale.

c) lim x!+¥f(x) =limx!+¥4xx

2=limx!+¥41x

=0 ; limx!¥f(x) =limx!¥4xx

2=limx!¥41x

=0 Asymptote horizontale d"équationy=0 en+¥et en¥.

Réponses exercice 5 :

Par application directe des règles sur les opérations avec les limites (on ne peut plus utiliser la règle sur les fonctions rationnelles

car on n"est plus en+¥ou en¥) : a) lim x!0x>0f(x) =limx!0x>0x|{z} !0+1x |{z} !+¥= +¥; limx!0x<0f(x) =limx!0x<0x|{z} !0+1x |{z}

Asymptote verticale d"équationx=0.

b) lim x!2x>2f(x) =limx!2x>2(3x2)|{z} !81x+2 |{z} !+¥=¥(car limx!2x>2x+2=0 par valeurs positives) lim x!2x<2f(x) =limx!2x<2(3x2)|{z} !81x+2 |{z} !¥= +¥(car limx!2x<2x+2=0 par valeurs négatives)

Asymptote verticale d"équationx=2.

c) lim x!1x>1f(x) =limx!1x>1(x2+x3)|{z} !111x |{z} !¥= +¥(car limx!1x>11x=0 par valeurs négatives) lim x!1x<1f(x) =limx!1x<1(x2+x3)|{z} !111x |{z} !+¥=¥(car limx!1x<11x=0 par valeurs positives)

Asymptote verticale d"équationx=1.

Réponses exercice 6 :

a) lim x!1x>1f(x) =limx!1x>1(x2+2)|{z} !31x+1 |{z} !+¥= +¥(car limx!1x>1x+1=0 par valeurs positives) lim x!+¥f(x) =limx!+¥x2x =limx!+¥x=¥(utilisation de la règle pour les limites des fonctions rationnelles en+¥) b) lim

x!+¥f(x)(x+1) =limx!+¥x2+2x+1+x1=limx!+¥x2+2+x2+xx1x+1=limx!+¥1x+1=0 (car limx!+¥x+1= +¥).

Cela prouve bien queDest asymptote oblique à la courbeCfen+¥.1S - Limites c

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Réponses exercice 7 :

lim

x!¥f(x) =1; limx!+¥f(x) =1; la droite d"équationy=1 est asymptote horizontale à la courbe en¥et en+¥.

lim x!2x<2f(x) = +¥; limx!2x>2f(x) =¥; limx!2x<2f(x) =¥; limx!2x>2f(x) = +¥. Les droites d"équationx=2 etx=2 sont des asymptotes verticales à la courbe.4 c

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