racine carrée : ln ( √a) = 1 2 ln(a) Propriété 2 propriété fondamentale http:// mathematiques daval free 2/
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A 4 Quelques applications concrètes des exp et log IX Le nombre négatif ´2 est l'opposé de la racine carrée de 4 On ne l'obtient donc
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racine carrée : ln ( √a) = 1 2 ln(a) Propriété 2 propriété fondamentale http:// mathematiques daval free 2/
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3 déc 2014 · 2 2 Quotient, inverse, puissance et racine carrée Définition 2 : On appelle logarithme décimal, la fonction, notée log, définie sur ]0; +∞[ par :
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On dit également que les fonctions carré et racine carrée sont réciproques le domaine scientifique, on utilise la fonction logarithme décimale, notée log, et
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C'est le même principe pour les fonctions « carré » et « racine carrée » : pour tous a les mêmes propriétés algébriques que le logarithme népérien (log(1) = 0,
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Les limites ne nous intéressent pas ici Nous voulons seulement comparer les fonctions La limite en 0 de ln est −∞ et celle de la fonction racine est 0 Donc
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c'est-à-dire aussi pour l'extraction de racine carrée Celle-ci était encore enseignée dans les années 1960 Point de vue historique Log en Terminale 2019-
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http://www deleze name/marcel/sec2/cours/Logarithmes/Log-Exercices pdf passerons par l'exemple selon lequel la fonction "racine carrée" est la fonction
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puissance réelle float sqrt(float x) cmath racine carrée réelle float exp(float x) cmath exponentielle réelle float log(float x) cmath logarithme réel void exit(int e)
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CHAPITRE4Fonctions
logarithmeSommaire
Partie A (s5)2
1 La fonction logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1 Définition2
1.2 Propriétés algébriques2
2 Étude de la fonction logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1 Variations de la fonctionx?→lnx4
2.2 Nombre e4
2.3 Croissance comparée avec les fonctions puissance 5
Ch.04Fonctions logarithmeTaleSTI2D
Partie A (s5)
Au début duxviiesiècle, navigateurs, financiers et surtout astronomes sontconfrontés à des calculs astrono-
miques. Pour faciliter ces calculs, le théologien, physicien, astronome et mathématicien écossais John Napier
(1550-1617, en français Neper) recherche une fonction qui puisse transformer des produits très compliqués à
calculer en sommes plus abordables.Il est amené à rechercher des fonctionsfvérifiantf(a×b) =f(a) +f(b)... le logarithme népérien est né!
1La fonction logarithme népérien
1.1Définition
On appelle fonctionlogarithme népérien, notée ln, l"unique fonctionf définie et dérivable sur ]0; +∞[ ayant pour dérivée la fonctionx?→1 xet vérifiant, pour tous réelsaetbstrictement positifs,f(a×b) =f(a) +f(b).Définition 1.
1.2Propriétés algébriques
Soientaetbdeux réels strictement positifs etnest un entier relatif, alors :produit : ln(ab) = ln(a) + ln(b);
inverse : ln?1
a? =-ln(a);quotient : ln?a
b? = ln(a)-ln(b);puissance : ln(an) =nln(a);
racine carrée : ln(⎷
a) =12ln(a).Propriété 2.
propriété fondamentale http://mathematiques.daval.free.fr 2/5 Lycée Georges BrassensCh.04Fonctions logarithmeTaleSTI2D
En résumé, le logarithme népérien a la particularité de transformer les produits en sommes, les quotients en différences et les puissances en multiplications.Démonstrations :
inverse : on aa×1
a= 1.Donc, ln
a×1 a? = ln(1) = 0 ??ln(a) + ln?1 a? = 0 ??ln?1 a? =-ln(a).quotient : on peut écrire ln?a
b? = ln? a×1b? = ln(a) + ln?1 b? = ln(a)-ln(b). puissance : ln(an) = ln(a×a× ··· ×a? nfois) = ln(a) + ln(a) +···+ ln(a)? nfois =nln(a).racine carrée : on a⎷
a×⎷a=a.Donc, ln(⎷
a×⎷a) = ln(a) ??ln(⎷ a) + ln(⎷a) = ln(a) ??ln(⎷ a) =12ln(a).Remarque 3
La propiété fondamentale se généralise au cas d"un produit denfacteurs : ln(a1×a2× ··· ×an) = ln(a1) + ln(a2) +···+ ln(an).Exemple 4
Transformations d"expressions numériques :
ln(24) = ln(23×3)
= ln(23) + ln(3)
= 3ln(2) + ln(3).ln?16
9? = ln(16)-ln(9) = ln(24)-ln(32)
= 4ln(2)-2ln(3).ln?⎷
96?=12ln(96)
12ln(25×3)
12[5ln(2) + ln(3)].
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2Étude de la fonction logarithme népérien
2.1Variations de la fonctionx?→lnx
D"après la définition, la fonctionx?→lnxest définie sur ]0;+∞[, de dérivée la
fonctionx?→1 x. La dérivée étant positive, la fonction logarithme népérien est donc croissante sur ]0;+∞[.