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A 4 Quelques applications concrètes des exp et log IX Le nombre négatif ´2 est l'opposé de la racine carrée de 4 On ne l'obtient donc 



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racine carrée : ln ( √a) = 1 2 ln(a) Propriété 2 propriété fondamentale http:// mathematiques daval free 2/ 



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3 déc 2014 · 2 2 Quotient, inverse, puissance et racine carrée Définition 2 : On appelle logarithme décimal, la fonction, notée log, définie sur ]0; +∞[ par :



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On dit également que les fonctions carré et racine carrée sont réciproques le domaine scientifique, on utilise la fonction logarithme décimale, notée log, et



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C'est le même principe pour les fonctions « carré » et « racine carrée » : pour tous a les mêmes propriétés algébriques que le logarithme népérien (log(1) = 0,



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Les limites ne nous intéressent pas ici Nous voulons seulement comparer les fonctions La limite en 0 de ln est −∞ et celle de la fonction racine est 0 Donc 



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c'est-à-dire aussi pour l'extraction de racine carrée Celle-ci était encore enseignée dans les années 1960 Point de vue historique Log en Terminale 2019- 



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http://www deleze name/marcel/sec2/cours/Logarithmes/Log-Exercices pdf passerons par l'exemple selon lequel la fonction "racine carrée" est la fonction 



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1

FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN

Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/VJns0RfVWGg En 1614, un mathématicien écossais, John Napier (1550 ; 1617) ci-contre, plus connu sous le nom francisé de Neper publie " Mirifici logarithmorum canonis descriptio ». Dans cet ouvrage, qui est la finalité d'un travail de 20 ans, Neper présente un outil permettant de simplifier les calculs opératoires : le logarithme. Neper construit le mot à partir des mots grecs " logos » (logique) et arithmos (nombre). Toutefois cet outil ne tr ouvera son essor qu'après la mort de Neper. Les mathématiciens anglais Henri Briggs (1561 ; 1630) et William Oughtred (1574 ;

1660) reprennent et prolongent les travaux de Neper.

Les mathématiciens de l'époque établissent alors des tables de logarithmes de plus en plus précises.

L'intérêt d'établir ces tables logarithmiques est de permettre de substituer une multiplication par une addition

(Partie 3). Ceci peut paraître dérisoire aujourd'hui, mais il faut comprendre qu'à cette époque, les calculatrices

n'existent évidemment pas, les nombres décimaux ne sont pas d'usage courant et les opérations posées telles

que nous les utilisons ne sont pas encore connues. Et pourtant l'astronomie, la navigation ou le commerce

demandent d'effectuer des opérations de plus en plus complexes.

Partie 1 : Fonction réciproque

Exemple :

Dire que 9 est l'image de 3 par la fonction carré, revient à dire que 3 est l'image de 9 par la

fonction racine carrée.

On note : 3

=9⟺ 9=3.

On a également : 5

=25⟺ 25=5.
De façon générale, pour tout réel et positifs, on a :

Dans ce cas, on dit que la fonction ⟼

est réciproque de la fonction ⟼ pour des valeurs de positives.

On dit également que les fonctions carré et racine carrée sont réciproques l'une de l'autre

pour des valeurs de positives. 2

Les courbes représentatives des fonctions carré et racine carrée sont symétrique l'une de

l'autre par rapport à la droite d'équation = pour des valeurs de positives. Définition : Soit une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle.

On appelle fonction réciproque de , la fonction telle que : )=⟺)=.

Propriété : Les courbes représentatives de deux fonctions réciproques sont symétriques

l'une de l'autre par rapport à la droite d'équation =. Méthode : Déterminer la fonction réciproque d'une fonction

Vidéo https://youtu.be/bgINubYekqo

Soit la fonction définie sur ℝ par =3-4. Déterminer la fonction réciproque de la fonction .

Correction

On pose :

Soit : 3-4=

3=+4

1 3 4 3 1 3 4 3

Soit encore :

= avec : 1 3 4 3 est la fonction réciproque de la fonction . Partie 2 : Fonction exponentielle et fonction logarithme

1) Rappels concernant la fonction exponentielle

Propriétés : La fonction exponentielle est définie, continue, dérivable, strictement croissante et convexe sur ℝ.

On a :

3

Propriétés :

=1 >0 , avec ∈ℕ

2) Définition de la fonction logarithme népérien

La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur ℝ, à valeurs dans

0;+∞

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout réel de

0;+∞

l'équation = admet une unique solution dans ℝ.

Définitions : On appelle logarithme népérien d'un réel strictement positif , l'unique

solution de l'équation =. On la note ln. La fonction logarithme népérien, notée , est la fonction définie sur

0;+∞

, par ⟼ln)

Remarques :

- Les fonctions et sont réciproques l'une de l'autre.

1 2 0 2)

1 2 expln 4 - Les courbes représentatives des fonctions et sont symétriques par rapport à la droite d'équation =.

A noter :

Dans le domaine scientifique, on utilise la fonction logarithme décimale, notée log, et définie par : log)= Propriétés de ln liées à la fontion exp : a) Pour >0 : = ⇔=ln) b) ln1)=0 ; ln)=1 ; lnL 1 M=-1 c) ln d) Pour >0 :

Démonstrations :

a) Par définition b) - =1 donc d'après a, on a : ln1)=0 = donc d'après a, on a : ln)=1 1 donc d'après a, on a : lnL 1 M=-1 c) Si on pose = , d'après a, on a : =ln)=ln d) Si on pose =ln), d'après a, on a : = Partie 3 : Propriétés de la fonction logarithme népérien

1) Relation fonctionnelle

Théorème : Pour tous réels et strictement positifs, on a : ln =ln)+ln)

Démonstration :

Donc : ln

=ln)+ln) 5 Remarque : Voici comment Neper transformait un produit en somme : Celui qui aurait, par exemple, à effectuer 36×62, appliquerait la formule précédente, soit : log

36×62

=log 36
+log 62
≈1,5563+1,7924 (à, l'aide de la table ci-contre) L'addition étant beaucoup plus simple à effectuer que la multiplication, on trouve facilement : En cherchant à nouveau dans la table le logarithme égal à 3,3487, on trouve 2232, soit : 36×62=2232.

2) Conséquences

Corollaires : Pour tous réels et strictement positifs, on a : a) lnL 1

M=-ln)

b) lnL

M=ln)-ln)

c) lnU V= 1 2 ln) d) ln )=ln), avec entier relatif

Démonstrations :

a) lnL 1

M+ln)=lnL

1

×M=ln1)=0 donc lnL

1

M=-ln)

b) lnL

M=lnL×

1

M=ln)+lnL

1

M=ln)-ln)

c) 2lnU V=lnU V+lnU V=lnU V=ln) donc lnU V= 1 2 ln) d) On démontre ce résultat par récurrence le cas où est un entier naturel.

L'initialisation est triviale.

La démonstration de l'hérédité passe par la décomposition : ln 1&% )=ln 1 =ln 1 +1 ln) Méthode : Simplifier une expression contenant des logarithmes

Vidéo https://youtu.be/HGrK77-SCl4

Simplifier les expressions suivantes :

=lnU3-

5V+lnU3+

2

Correction

=lnU3-

5V+lnU3+

6 =lnLU3- 5VU3+

5VM=ln2

2 )+ln5)-ln3 =ln 9-5 =ln4) =ln] 2 3 ×5 3 2 ^=lnL 40
9 M =ln 2 =2-ln2)+ln) =2-ln2)+1=3-ln2)

3) Équations et inéquations

Propriétés : Pour tous réels et strictement positifs, on a : a) ln =ln ⟺= b) ln Vidéo https://youtu.be/lCT-8ijhZiE a) Résoudre l'équation =5. b) Résoudre l'équation ln)=2 dans l'intervalle =

0;+∞

c) Résoudre l'équationln -3 +ln

9-

=0 dans l'intervalle =]3;9[. d) Résoudre l'équation ln=ln3+1) dans l'intervalle =

0;+∞

Correction

a) =5 ,-(3) +1=ln5) =ln5)-1 b) On résout l'équation dans l'intervalle =

0;+∞

, car la fonction ln est définie pour >0. ln)=2 ln)=ln

La solution est donc

car elle appartient à l'intervalle =

0;+∞

c) On résout l'équation dans l'intervalle = 3;9 , car -3>0 et 9->0.

Soit >3 et <9.

ln -3 +ln

9-

=0 lnU -3

9-

V=0 lnUquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47