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Comparaison des fonctions usuelles Soient α, β et γ des réels strictement positifs • En +∞ : (lnx)α = o x→+∞( 

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Equivalents usuels Trigonométrie circulaire en 0 sin x ∼ x→0 x tan x ∼ x→0 Arccosx ∼ x→1 √2(1 − x) Fonctions puissances en Si α = 0, (1 + x)α − 1 ∼

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Fiche de cours 3 : Fonctions usuelles, Développements limités, Équivalents, Séries La fonction logarithme népérien ln est définie et dérivable sur R∗ + ln est 

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Limites et Equivalents 1 1 Introduction Savoir qu'une fonction f (x) tend vers ±∞ ou vers 0 lorsque x est voisin de x0 ne suffit pas: il est souvent indispensable 

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DL, équivalents usuels, limites à connaître Janvier 2012 ex =1+ x 1 + x2 2 + ··· + xn n + xnε(x) = n ∑ k=0 xk k + xnε(x) sin(x) = x − x3 3 + ··· + (−1)n x2n+1

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~ , définie sur ),( R D F , est une relation d'équivalence, c'est-à-dire qu'elle est réflexive, symétrique et transitive B) Equivalents usuels au voisinage de 0 x x xx x

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Une fonction f qui admet n dérivées successives en x = 0 peut se développer jusqu'à l'ordre n au voisinage de 0 Si 1 I 2 Développements limités usuels

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Deux fonctions f et g de Fx0 sont dites équivalentes au voisinage de x0 cette derni`ere propriété qui permet de trouver les équivalents usuels des fonctions

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13 jan 2018 · Preuve 2 : Voir le cours sur les fonctions usuelles Exemple 4 On dira que f et g sont équivalentes au voisinage du point a ssi : f(x)

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La fonction f est continue sur ] − ∞,1[ et sur ]1,+∞[ (ce sont des fonctions usuelles, polynôme ou fonction logarithme) De plus, lim x→1− f(x) = lim x→1−

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Lycée Blaise PascalTSI 1 année

FICHE: LIMITES ET ÉQUIVALENTS USUELS

Limites usuelles

lnxx-----→x→+∞0 xlnx-----→ x→0+0 ln(x)x-1---→x→11 ln(1+x) x---→x→01 exx-----→x→+∞+∞ xex-----→x→-∞0 ex-1 x---→x→01

De manière plus générale

Soientα,βetγdesréels strictement positifs •En+∞: •En0et-∞: xα|lnx|β---→x→00et |x|αeγx-----→x→-∞0

Suite géométrique

0sia?]-1,1[

1sia=1

+∞sia?]1,+∞[Comparaison des suites de référence

Soienta>1,α>0etβ>0alors :

(lnn)α=on→+∞? nβ? nβ=on→+∞?an? an=on→+∞(n!)

Équivalents classiques pour les suites

Siun------→n→+∞0alors :

sinun≂n→+∞un tanun≂n→+∞un [1-cosun]≂n→+∞u 2n 2 ln(1+un)≂n→+∞un ?eun-1?≂n→+∞un

Comparaison des fonctions usuelles

Soientα,βetγdesréels strictement positifs •En+∞: (lnx)α=ox→+∞? xβ? et xβ=ox→+∞?eγx? •En0et-∞: |lnx|β=ox→0? 1 xα? et eγx=ox→-∞? 1 |x|α?

Équivalents classiques pour les fonctions en0

ln(1+x)≂x→0x ex-1≂x→0x sinx≂x→0x tanx≂x→0x shx≂x→0x thx≂x→0x arcsinx≂x→0x arctanx≂x→0x argshx≂x→0x argthx≂x→0x cosx-1≂x→0-x2 2 chx-1≂x→0x 2 2 (1+x)α-1≂x→0αx(α?R)

De manière plus générale

Sif(x)----→x→a0alors :

ln?1+f(x)?≂x→af(x) sin?f(x)?≂x→af(x) tan?f(x)?≂x→af(x) cos?f(x)?-1≂x→a-?f(x)?2 2 ef(x)-1≂x→af(x) ?1+f(x)?α-1≂x→aαf(x) (α?R)quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19