si x ∈]1,+∞[ 6 1 4 Limite au voisinage de l'infini Définition 9 Soit f une fonction définie au voisinage de +∞ et soit l ∈ R On dit que la fonction f admet pour
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FICHE : LIMITES ET ÉQUIVALENTS USUELS Limites usuelles lnx x −−−−− → x→+∞ 0 x lnx −−−−−→ x→0+ 0 ln(x) x −1 −−−→ x→1 1 ln(1+ x)
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13 jan 2018 · On dira que la fonction f est un grand O de la fonction g au voisinage du donnée admet une infinité d'équivalents au voisinage d'un point a
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un principe général : f(x) tend vers l (fini ou infini) quand x tend vers a (fini ou infini), Au voisinage de 0, sin(x), ex − 1 et ln(1 + x) sont équivalents à x lim x→ 0
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????f:x7!1x1? ????g:x7!ln(x8)? ] 1;b]????b2R ????x02R?? ????`2R?
8" >0;9 >0=8x2Df;jxx0j6=) jf(x)`j6"
??x0? ?? ???? ????? ? lim ????x02R?8A >0;9 >0=8x2Df;jxx0j6=)f(x)>A
??x0? ?? ???? ????? ? lim x!x0f(x) = +1??f(x)!x!x0+18B <0;9 >0=8x2Df;jxx0j6=)f(x)6B
??x0? ?? ???? ????? ? lim lim x!x0f(x) =f(x0)8" >0;9 >08x2Df;jxx0j6=) jf(x)f(x0)j6"
????x02R?? ????`2R?8" >0;9 >0=8x2Df; x2[x0;x0[6=) jf(x)`j6"
lim x!x0f(x) =`??f(x)!
x!x 0`8" >0;9 >0=8x2Df; x2]x0;x0+]6=) jf(x)`j6"
lim x!x+0f(x) =`??f(x)!
x!x+ lim x!x0f(x) =`()? ??lim x!x0f(x) =`
f(x0) =` lim x!x+0f(x) =`
lim lim x!x0f(x) =`()? ?lim x!x0f(x) =`
lim x!x+0f(x) =`
8x2Rn f1g; f(x) =?1x??x2] 1;1[
ln(x)??x2]1;+1[ lim x!1f(x) = limx!1(1x) = 0 limx!1+f(x) = limx!1+ln(x) = 08x2R; g(x) =?
?1x??x2] 1;1[0??x= 1
ln(x)??x2]1;+1[ ?????? ????`??+1?? ?8" >0;9A2R=8x2Df; x>A=) jf(x)`j6"
8M >0;9A2R=8x2Df; x>A=)f(x)>M
lim x!+1f(x) = +1??f(x)!x!+1+18m <0;9A2R=8x2Df; x>A=)f(x)6m
lim ???? ????? ????? ???????x02R??`;`02R? ?????? ????? ?????lim x!x0(f(x) +g(x))lim x!x0g(x) =1lim x!x0g(x) =`0lim x!x0g(x) = +1lim x!x0f(x) =111F:I: lim x!x0f(x) =`1`+`0+1lim x!x0f(x) = +1F:I:+1+1?????? ???? ??????? lim x!x0(f(x)g(x))lim x!x0g(x) = 0lim x!x0g(x) =`06= 0lim x!x0g(x) =1lim x!x0f(x) = 000F:I: lim x!x0f(x) =`6= 00``01 lim x!x0f(x) =1F:I:11 lim x!x0f(x)1`6= 00 00 ++1lim x!x01f(x)01 `1??? ?? ??????+10 lim x!x0f(x)g(x)lim x!x0g(x) = 0+??0lim x!x0g(x) =`06= 0lim x!x0g(x) =1lim x!x0f(x) = 0F:I:00 lim x!x0f(x) =`6= 01` 00 lim x!x0f(x) =111F:I:1 1;0 1;1
1;0 0 ?limx!af(x) =b? ?limu!bg(u) =c? ??????limx!agf(x) =c??????? ?8x2R; f(x) = ln(e2x+ 1)
??????? ???? ??? ??????? ??f??+1??1? lim x!+1e2x+ 1 = 1??limu!1ln(u) = 0? ????limx!+1f(x) = 0 lim x!1e2x+ 1 = +1??limu!+1ln(u) = +1? ????limx!1f(x) = +1 lim x!x0f(x) =`2R f(x)>0 (??f(x)>0) ??limx!x0f(x) =`? ?????`>0? f(x)6g(x) lim lim x!x0f(x) =`2R ????x02R?? ????`2R? f(x)6g(x)6h(x) ?? ??limx!x0f(x) = limx!x0h(x) =`? lim x!x0g(x) =` jf(x)`j6g(x) ?? ??limx!x0g(x) = 0? lim x!x0f(x) =` ?limx!x0g(x) = 0? lim f(x)6g(x) ?? limx!x0f(x) = +1? ????? ?? ? ?????limx!x0g(x) = +1? f(x)6`? ?? ? ???? ? `= sup x2]a;b[f(x) f(x)>`? ?? ? ???? ? `= infx2]a;b[f(x) f(x)>`? ?? ? ???? ? `= infx2]a;b[f(x) f(x)6`? ?? ? ???? ? `= sup x2]a;b[f(x) x f(x) =g(x)(1 +"(x))????limx!x0"(x) = 0 f(x) =g(x)(1 +"(x))????limx!x0"(x) = 0 f(x)g(x)= 1 +"(x)!x!x01 x f(x) =f(x)g(x)g(x) =g(x)h(x) =g(x)(1 + (h(x)1)) f(x) =x2xln(x)g(x) =x2 f(x)g(x)=x2xln(x)x2= 1ln(x)x
???????limx!+1ln(x)x x2xln(x)x!+1x2
??limx!x0f(x) =`? ?????f(x)`P(x) =anxn++a1x+a0
P(x)x!+1anxn; P(x)x!1anxn??????? ?
4+ 2x2+ 1? ?????
f(x) =x3+ 2x2+x2x4+ 2x2+ 1x!+1x
3x 4=1x f(x)f(a)xa!x!af0(a) x1x!0xln(1 +x)x!0xln(x)x!1x186= 0;(1 +x)1x!0x;p1 +x1x!012 ?f(x)x!x0g(x) g(x)x!x0h(x)? ?????f(x)x!x0h(x) ?f1(x)x!x0g1(x)
f ?f1(x)x!x0g1(x)
f2(x)x!x0g2(x)
f2(x)x!x0g
1(x)g 2(x) Si ?f(x)x!x0g(x) ?f(x)x!x0g(x) ??f1(x)x!x0g1(x)??f2(x)x!x0g2(x); ??f(x) =x2+x??g(x) =x2+1? ?????f(x)x!+1x2??g(x)x!+1x2????f(x)+g(x) =x+1x!+1x? x+1e ??u(x)x!x0v(x);?????ln(u(x))x!x0ln(v(x))ln(v(x))ln(u(x))=ln?v(x)u(x)u(x)?ln(u(x))=ln?v(x)u(x)?ln(u(x))+ln(u(x))ln(u(x))= 1 +ln?v(x)u(x)?ln(u(x))
???ln?v(x)u(x)? lim lim x!x+