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Développements limités et équivalents Page 1 sur 2 JN Beury
DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS ET ÉQUIVALENTS
I. DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS
Une fonction f qui admet n dérivées successives en x = 0 peut se développer jusqu'à l'ordre n au voisinage de 0.
Si 1x, 20 ' 0 " 0 ... 01! 2! !
n n n xx xfx f f f f x xn avec 0 lim 0 x xOn remarque que
n tend plus vite vers 0 que nDans le cours de mathématiques, il y a plusieurs façons d'exprimer le reste. En physique, on ne l'écrit pas.
x, 20 ' 0 " 0 ... 01! 2! !
n n n xx xfx f f f f x xnI.2 Développements limités usuels
1x. Les angles sont exprimés en radians.
2exp 1 ...
1! 2! !
n 2131sin ...3! 2 1 !
nn 221cos 1 ...2! 2 !
nn 21 1 ... 111 ...1! 2! !
n 121ln 1 ...2
nn (il n'y a pas de factorielle dans cette expression) 3 tan3 x xxSi on fait un développement limité (DL) à l'ordre 1, alors on doit négliger tous les termes d'ordre > 1.
On écrira alors :
sinxx ; cos 1x ; tanxxSi on fait un développement limité (DL) à l'ordre 1, alors on doit négliger tous les termes d'ordre > 2.
On écrira alors : sinxx ;
2 cos 12 x x ; tanxxII. NOTIONS DE FONCTIONS ÉQUIVALENTES
f et g sont équivalents en a si et seulement si lim 1 xa fx gx . On écrit xa fx gxII.2 Premières propriétés
Développements limités et équivalents Page 2 sur 2 JN Beury II.3 Équivalents des fonctions polynômes en 0 et à l'infiniSoit P
1 une fonction polynôme : 231
4Px x x x
231
41xxPx x
. On a donc 10x Px x 2 3 1 334144xxPx xxx . On a donc
3 1 4 x Px xSoit P
2 une fonction polynôme :32 2 5
1334Px x x x x x
3 20 3 x Px x et 5 2 4 x Px xOn définira dans le cours d'électrocinétique une fonction de transfert qui sera le quotient de fonctions polynômes. On
cherchera l'équivalent de la fonction de transfert en 0 et à l'infini. On utilisera donc la propriété que l'équivalent d'un
quotient est le quotient des équivalents. 0 2 2 00 1 1 j QHjj Q ZZ ZZ