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FICHE : LIMITES ET ÉQUIVALENTS USUELS Limites usuelles lnx x −−−−− → x→+∞ 0 x lnx −−−−−→ x→0+ 0 ln(x) x −1 −−−→ x→1 1 ln(1+ x)

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Comparaison des suites en l'infini Plan du chapitre 1 Les différentes 1 1 3 Relation d'équivalence des suites 3 2 Etudes de signes au voisinage de +∞

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qui admet n dérivées successives en x = 0 peut se développer jusqu'à l'ordre n au voisinage de 0 II 3 Équivalents des fonctions polynômes en 0 et à l'infini

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On dit que f est équivalente `a g au voisinage de x0 et on écrit f(x) ∼ x→x0 Un polynôme en x est équivalent en ±∞ `a son monôme de plus haut degré sur les limites et notamment le théor`eme des croissances comparées : • En l'infini :

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Lycée Blaise PascalTSI 1 année

FICHE: LIMITES ET ÉQUIVALENTS USUELS

Limites usuelles

lnxx-----→x→+∞0 xlnx-----→ x→0+0 ln(x)x-1---→x→11 ln(1+x) x---→x→01 exx-----→x→+∞+∞ xex-----→x→-∞0 ex-1 x---→x→01

De manière plus générale

Soientα,βetγdesréels strictement positifs •En+∞: •En0et-∞: xα|lnx|β---→x→00et |x|αeγx-----→x→-∞0

Suite géométrique

an------→n→+∞?diverge sia?]-∞,-1]

0sia?]-1,1[

1sia=1

+∞sia?]1,+∞[Comparaison des suites de référence

Soienta>1,α>0etβ>0alors :

(lnn)α=on→+∞? nβ? nβ=on→+∞?an? an=on→+∞(n!)

Équivalents classiques pour les suites

Siun------→n→+∞0alors :

sinun≂n→+∞un tanun≂n→+∞un [1-cosun]≂n→+∞u 2n 2 ln(1+un)≂n→+∞un ?eun-1?≂n→+∞un

Comparaison des fonctions usuelles

Soientα,βetγdesréels strictement positifs •En+∞: (lnx)α=ox→+∞? xβ? et xβ=ox→+∞?eγx? •En0et-∞: |lnx|β=ox→0? 1 xα? et eγx=ox→-∞? 1 |x|α?

Équivalents classiques pour les fonctions en0

ln(1+x)≂x→0x ex-1≂x→0x sinx≂x→0x tanx≂x→0x shx≂x→0x thx≂x→0x arcsinx≂x→0x arctanx≂x→0x argshx≂x→0x argthx≂x→0x cosx-1≂x→0-x2 2 chx-1≂x→0x 2 2 (1+x)α-1≂x→0αx(α?R)

De manière plus générale

Sif(x)----→x→a0alors :

ln?1+f(x)?≂x→af(x) sin?f(x)?≂x→af(x) tan?f(x)?≂x→af(x) cos?f(x)?-1≂x→a-?f(x)?2 2 ef(x)-1≂x→af(x) ?1+f(x)?α-1≂x→aαf(x) (α?R)quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2