Montrer que la suite de fonctions fn(x) = x(1 + nαe−nx) définies sur R+ pour α ∈ R et n ∈ N∗ converge simplement vers une fonction f à déterminer 2
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Allez à : Correction exercice 4 Exercice 5 Convergence simple vers une fonction discontinue Etudier la convergence, éventuellement uniforme, des suites de
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cosnx Exercice 2 Étudier la convergence simple et uniforme des suites de fonctions suivantes : • fn(x) = xn,
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7 oct 2019 · 2 Convergence uniforme 2 1 Définition et exemples On a vu que la convergence simple d'une suite ou d'une série de fonctions est une notion
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n∈N∗ converge simplement vers la fonction nulle sur [0, +∞[ Il y a un lien entre la convergence simple et la convergence uniforme La convergence uniforme est
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Montrer que la suite de fonctions fn(x) = x(1 + nαe−nx) définies sur R+ pour α ∈ R et n ∈ N∗ converge simplement vers une fonction f à déterminer 2
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une convergence non uniforme sur A) : a) Etude de la convergence simple pour trouver f b) Calcul de an = Sup
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1 Suites de fonctions Convergence simple - Convergence uniforme Exercice 1 On consid`ere pour n ∈ N la fonction fn définie sur [0, 1] par fn(x) = nx(1 − x)n
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Exercice 1 : Convergences simples et uniformes 1 Etudier la convergence simple puis la convergence uniforme sur R de la suite (fn)n∈N de fonctions définies
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La convergence simple n'entraıne donc pas la convergence uniforme En revanche : Proposition 1 13 Si la suite (fn)n∈N converge uniformément sur I vers la
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Université Paris-Dauphine Année universitaire 2019-2020 Analyse 3 (L2)Chapitre 4 : Suites et séries de fonctions
1 Convergence simple et uniforme de suite de fonctions
Exercice 1.Donner un exemple de suite de fonctions qui converge simplement surRmais pas uniformément.
Exercice 2.Etudier la convergence simple et uniforme sur[0;1]de la suite de fonctions(fn)dans chacun des cas suivants. (i)fn(x) =xnpn+ 1;(ii)fn(x) =n2x2n(1x): Exercice 3.Soit(fn)la suite de fonctions définies sur[0;1]par,8x2[0;1]; fn(x) =xnln
sinx2Déterminer
lim n!+1Z 1 0 f n(x)dx:Exercice 4.Soitfn:R!Rdéfinie par
f n(x) =rx 2+1n Montrer que chaquefnest de classeC1et que la suite(fn)converge uniformément surRvers une fonction fqui n"est pas de classeC1. Exercice 5.1. Montrer que la suite de fonctionsfn(x) =x(1+nenx)définies surR+pour2Ret n2Nconverge simplement vers une fonctionfà déterminer.2. Déterminer les valeurs depour lesquelles il y a convergence uniforme.
3. Calculer
lim n!+1Z 1 0 x(1 +pne nx)dxExercice 6.Soitfn(x) =enx+2e
nx+1, pourx2R.1. Montrer que la suite(fn)converge simplement surR. Expliciter sa limite simple.
2. La convergence est-elle uniforme surR?
3. La convergence est-elle uniforme sur[1;+1[?
Exercice 7.Soitfn(x) = (1 +xn)1n
, pourx2R+.1. Montrer que(fn)converge simplement surR+vers une fonctionfà déterminer.
2. En déduire que(fn)converge uniformément sur[0;1]versf.
3. Montrer que(fn)converge uniformément versfaussi sur[1;+1[et conclure.
Exercice 8.Soitfn(x) =1 +xn
n, pourx2R+.1. Montrer que(fn)converge simplement surR+vers la fonctionfdéfinie surR+parf(x) =ex.
12. Montrer que la convergence est uniforme sur[0;A], quel que soitA >0.
3. A-t-on convergence uniforme surR+?
Exercice 9.Soit(fn)la suite de fonctions définies surR+par f n(x) = 1xn n;six2[0;n];0six > n:
1. Montrer que(fn)converge simplement surR+vers la fonctionex.
2. (a) Soit, pour toutx0,h(x) =xex. Montrer que, pour toutx0,
jh(x)j e1: (b) Pourn >1, on pose g n(x) =ex1xn n;six2[0;n]; e xsix > n: Montrer que, pour toutx2[0;n],g0n(x) =exhn(x), avec h n(x) =1 +ex 1xn n1: (c) Calculerh0n(x), pourx2[0;n]. En déduire qu"il existen2[1;n]tel que g0n(n) = 0;8x2[0;n[; g0n(x)>0;8x2]n;n]; g0n(x)<0:
d) Montrer quegn(n) =1n nenet donner le tableau de variation degnsurR+. e) En déduire que(fn)converge uniformément versexsurR+.3. Calculer
lim n!+1Z +1 0 f n(x)dx: Exercice 10.On considère la suite de fonctions(fn)définies sur[0;1]par,8x2[0;1]; fn(x) =n(x3+x)exnx+ 1:
1. Montrer que(fn)converge simplement sur[0;1]vers une fonctionfque l"on déterminera.
2. Montrer que, pour tout entiern1, et pour toutx2[0;1],
jfn(x)f(x)j 2nx+ 1:3. Montrer que(fn)converge uniformément versfsur[";1], pour tout"2]0;1[. Converge-t-elle unifor-
mément sur[0;1]?Exercice 11.On noteI= [0;12
]. Le but de l"exercice est de construire une application continuef:I!R, telle que8x2I; f(x) = 1 +12
Z x0f(t) +f(t2)dt:
On considère les applicationsfn:I!Rdéfinies par récurrence : f0(x) = 1;8x2I; f n+1(x) = 1 +12 R x0fn(t) +fn(t2)dt:
21. Calculerf1etf2. Montrer que, pour tout entiern,fnest un polynôme.
2. On note, pourn1,
D n= sup x2Ijfn(x)fn1(x)j:CalculerD1etD2. Montrer que
8n2N;8x2I;jfn+1(x)fn(x)j 12
Dn; et en déduire que, pour toutn2N, D n12 n:3. On poseuk(x) =fk(x)fk1(x).
(a) Soitxfixé dansI. Montrer que la série numériqueP kuk(x)est absolument convergente. (b) On note, pour toutx2I,S(x) =P k1uk(x). En remarquant que S n(x) =nX k=1u k(x) =fn(x)1; montrer que la suite(fn)converge simplement surIvers une fonction que l"on noteraf. Donner l"expression def(x)en fonction deS(x).4. Montrer que, pour toutx2I, et pour toutp > n,
jfp(x)fn(x)j= p X k=n+1u k(x) 12 n: En déduire que(fn)converge uniformément surIversf, et quefrépond à la question posée. Exercice 12.Soit(fn) : [a;b]!Rune suite de fonctions pour laquelle il existeK >0tel que pour tout n2N,fnest "K-lipschitzienne", c"est-à-dire :8x;y2[a;b];jfn(x)fn(y)j Kjxyj:
On suppose de plus que(fn)converge simplement vers une certaine fonctionf: [a;b]!R. Montrer cette convergence est uniforme.Exercice 13.(Deuxième théorème de Dini) Soit(fn) : [a;b]!Rune suite de fonctions croissantes, qui
converge simplement vers une fonctionf. On suppose de plus quefest continue. Montrer que(fn)converge uniformément versf.2 Modes de convergence de séries de fonctions
Exercice 14.Soit, pournentier, et pourx2]1;1[,un(x) =nxn. Montrer que la série de fonctionsPun converge simplement sur]1;1[et uniformément sur tout intervalle de la forme[1 +";1"]vers une fonctionuà déterminer.Exercice 15.Montrer que
f(x) =+1X n=11n2arctan(nx)
est continue surRet de classeC1surR. Est-elle dérivable en0? 3Exercice 16.Soit8(n;x)2NR;un(x) =(1)nn
2+x2.1. Montrer la convergence normale de la série de fonctions de terme généralunsurR.
2. Soitusa fonction somme. En déduire la continuité de la fonctionusurR.
3. Montrer que la fonctionuest dérivable surRet que sa dérivée est donnée par
8x2R; u0(x) =2x+1X
n=1(1)n(n2+x2)2:Exercice 17.Étudier la convergence simple, uniforme et normale de la série des fonctions définies surR
parfn(x) =(1)nn+x2.