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Exercice 5 Convergence simple vers une fonction discontinue Etudier la convergence, éventuellement uniforme, des suites de fonctions définies par :

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Exercice 7 Soit (fn) une suite de fonctions continues sur [a, b] On suppose que (i ) (fn) converge simplement vers la fonction nulle ; (ii) pour tout x ∈ [a, b], 

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Donc les fonctions Fn sont nulles en 0, croissantes et de limite finie (c) En déduire la convergence uniforme de la suite (Fn)n∈N sur [0,+∞[ Pour 

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= e−1 = 0, d'où la non convergence uniforme de fn vers f ≡ 0 Exercice 2 Soit la suite de fonctions définie par I = R +; fn(x) = nαxe− 

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sup{gn(x), x ⩾ 0} = 0 et on a montré que la suite de fonctions (fn)n∈N∗ converge uniformément sur R+ vers la fonction x ↦→ e−x Exercice no 3 1) a) Soit n ∈ 

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FAUX (penser à fn(x) = xn sur [0,1]) / VRAI (c'est tout l'intérêt des convergences uniformes) Convergence de suites de fonctions Exercice 2 - Premières études de 

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Exercice 1 : Convergences simples et uniformes 1 Etudier la convergence simple puis la convergence uniforme sur R de la suite (fn)n∈N de fonctions définies 

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Exercice 1 Étude de convergence Soit α ∈ R et fn(x) = nαx(1 − x)n pour x ∈ [0, 1] 1) Trouver la limite simple des fonctions fn 2) Y a-t-il convergence uniforme 

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Exercice 1 : Étudions la convergence simple et la convergence uniforme des La suite de fonctions fn(x) diverge sur R+ mais converge simplement sur [0,1] 

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Exercice 3 (ddl Théorème de Dini) Soient des fonctions fn : [a, b] → R continues telles que la suite de fonctions (fn) converge simplement vers la fonction nulle

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e??????

8x2[0;+1[;fn(x) =x3(1 +x2)n:

kfnfk1= sup x2[0;+1[ x3(1 +x2)n = sup x2[0;+1[x

3(1 +x2)n

f

0n(x) =x2(1 +x2)n1(3(1 +x2)2x2n)(1 +x2)2n:

2n3? ?????fn(0) = 0??limx!+1fn(x) = 0? ?? ? ?

kfn0k1=fn r3 2n3! =32n3 3=21

1 +32n3

n32n3 3=2 ?? ?? ?????Fn(x) =Z x 0 f n(t)dt???? ????x >0? F n(x) = limn!+1Z x 0 f n(t)dt=Z x 0 limn!+1fn(t)dt= 0: ?? ?Fn(0) = 0? ???? ??????? ???Fn(x)? ??? ?????? ???? ?????x???? ????+1? f n(x)1???[0;1] f n(x)1x

2n3???[1;+1[:

kFn0k1= limx!+1Fn(x)??? R1

0fn(t)dt+R1

1fn(t)dt???

=Fn(1) +R1

1fn(t)dt:???

?? ????[0;A]? ????? ???[1;+1[? ????n3? ?? ? ? Z 1 1 f n(t)dtR1 11x

2n3dt???

h x42n42ni 1 1???

12n4???

n?? ????? ??????? ????? ???? ??fn(x) = (1)nln

1 +xn(1 +x)

???[0;+1[:????? ???? ?????

1 +xn(1 +x)

P n2N(1)nln

1 +xn(1 +x)

ln

1 +xn(1 +x)

=xn(1 +x)+Ox2n

2(1 +x)2

A=X(1)nxn(1 +x)

B=X(1)nOx2n

2(1 +x)2

a n=1n jBn(x)j=jnX k=1b k(x)j=x1 +xjnX k=1(1)kj 1: x2n

2(1+x)21n

2;8x2[0;+1[? ????

k x2n

2(1+x)2k11n

2? f n: [0;+1[!R x7!xn(1 +nx2)

Pfn?n2N?? ???[0;+1[?

f

0n(x) =n(1 +nx2)2n2x2n

2(1 +nx2)2:

????f0n(x) = 0,nn2x2= 0,x=q1 n ? ?? ????fn(0) = 0??limx!+1fn(x) = 0? ???? kfnk1=fn r1 n 1n 3=2: n=1f n(x)? ?? ????? ???[a;b]??????? ??????? ??? ?? ????? ?? ?? ????? S

0= (P1

n=1fn)0=P1 f

0n(x) =1(1 +nx2)2x2(1 +nx2)2:

1(1 +nx2)21(1 +na2)2

x2(1 +nx2)2b2(1 +na2)2:

S???C1???]0;+1[?

??? ??????? ???limx!+1S(x) = 0? ?? ?8x >0; fn(x)xn 2x=1n

2x? ???? ?

S(x)1x

1 X n=11n 2: P1 n=11n

2??? ??? ?????? ???? ?2=6?? ???? ?? ? ????limx!+1S(x) = 0?

x!0+S(x)x = +1

8A >0;9 >0;

jxj< )S(x)x A S

0(0) = lim

x!0+S(x)S(0)x0= lim x!0+S(x)x S k(x)? ???? ? S(x)x

Sk(x)x

=kX n=11n(1 +nx2) S(x)x kX n=1xn(1 +n=k)kX n=112n: ?? ??????? ??????k????+1? ?? ???? ???? ???lim x!0+S(x)x = +1?quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41