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Exercice 1ES/Dérivation/exo-014/texte

Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonc- tions suivantes.

1.fdéfinie surRparf(x) = 3-8x.

2.fdéfinie surRparf(x) = 7x2-8x+ 4.

3.fdéfinie surRparf(x) =x3+ 2x+ 3.

4.fdéfinie surRparf(x) = 8x3-7x2+ 9x+ 5.

5.fdéfinie surRparf(x) = 5x4-6x2+ 3.

6.fdéfinie surRparf(x) =x(3x-4).

7.fdéfinie surRparf(x) = (2x+ 1)(2x-3).

8.fdéfinie surRparf(x) = (x2+ 5)(4x+ 3).

9.fdéfinie surRparf(x) = (3x+ 2)2.

10.fdéfinie surRparf(x) = (5x-1)2.

Exercice 2ST2S/Fonctions-dérivées/exo-001/texte Un décorateur de théâtre a fait construire deux pan- neaux de largeur2m dans des plaques carrées. Ceux-ci sont schématisés ci-dessous et on les raccorde de sorte queO,A,Csoient alignés et queBetDsoient du même côté de(AC). D OCP 1 P 2B O A

2m2mpanneau1panneau2

Il s"agit d"étudier comment se raccordent ces deux pan- neaux sachant que les courbesP1etP2sont les re- présentations graphiques respectives de : •fdéfinie sur[-2;0]parf(x) =x

2+ 4 +6x-2

•gdéfinie sur[0;2]parg(x) =1

4(x-2)2

dans un repère orthonormal (O;#»ı ,#»?)d"axe des abs- cisses(OA), d"axe des ordonnées(OB)et d"unité le mètre.

1.Montrer que les pointsBetDcoïncident lorsque

l"on rapproche les deux panneaux.

2.Comment traduire mathématiquement que le rac-cordement se fait sans point anguleux?

3.On admet quef?(0) =-1. Déterminer le coefficient

directeur de la tangente àP2enBet conclure.

Exercice 3ES/Dérivation/exo-012/texte

Partie A

1.a) Résoudre l"équation-3x2+ 96x+ 555 = 0.

b) Dresser le tableau de signe de(-3x2+96x+555) surR.

2.Soitfla fonction définie sur[0;50]par :

f(x) =-x3+ 48x2+ 555x-16000 a) Calculerf?(x), oùf?désigne la fonction déri- vée def. b) Étudier soigneusement les variations def.

Partie B

Une entreprise fabrique et vend chaque mois entre0 et50tonnes d"un désinfectant utilisé en milieu hospi- talier. Le coût total de fabrication, en euros, de la production mensuelle dextonnes de ce produit est donné par :

P(x) =x3-48x2+ 1045x+ 16000

On suppose que toute la production mensuelle est ven- due au prix de1600ela tonne.

1.Calculer la recette, les coûts et le bénéfice lorsquela production mensuelle est de40tonnes.

2.Exprimer la recette mensuelleR(x)puis le bénéfice

mensuelB(x)en fonction dex.

3.En déduire le bénéfice mensuel maximal que l"en-treprise peut réaliser ainsi que la production cor-respondante.

Exercice 4ST2S/Nombre-dérivé/exo-007/texte

On donne ci-dessous les représentations graphiques de quatre fonctionsf,g,hetk. 123
-1 -2 -31 2 3-1-2-3Cf 123
-1 -2 -31 2 3-1-2-3 Cg 123
-1 -2 -31 2 3-1-2-3 Ch 123
-1 -2 -31 2 3-1-2-3 Ck Les quatre courbes ci-dessous sont celles de leurs fonc- tions dérivées respectives notéesf?,g?,h?etk?. Associer chaque courbe à la fonction qu"elle représente. 123
-1 -2 -31 2 3-1-2-3

Courbe1

123
-1 -2 -31 2 3-1-2-3

Courbe2

123
-1 -2 -31 2 3-1-2-3

Courbe3

123
-1 -2 -31 2 3-1-2-3

Courbe4

Exercice 5ST2S/Fonctions-dérivées/exo-019/texte

Lors d"une épidémie observée sur une période de douze jours,un institut de veille sanitaire a modélisé le nombre de

personnes malades. La durée, écoulée à partir du début de la période et exprimée en jours, est notéet. Le nombre

de cas en fonction de la duréetest donné en milliers, par la fonctionfde la variable réelletdéfinie et dérivable

sur l"intervalle[0;12], dont la représentation graphiqueCfest donnée ci-dessous.

255075100125150175200225250275

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Cf

Partie AÉtude graphique

Pour cette partie, on se référera à la courbe représen- tativeCfde la fonctionf. Les tracés réalisés feront office de justification.

1.On considère que la situation est grave lorsque lenombre de cas est d"au moins125000malades.

Estimer graphiquement la durée de la période qua- lifiée de " situation grave ».

2.Déterminer graphiquement le nombre maximal demalades sur la période des12jours observés et le

moment où il est atteint.

3.Le nombref?(t)représente la vitesse d"évolution de

la maladie,tjours après l"apparition des premiers cas. Déterminer graphiquement à quel moment de l"épi-démie la maladie progresse le plus.

Partie BÉtude théorique

La fonctionfévoquée dans la première partie est dé- finie parf(t) =-t3+ 12t2.

1.Calculer l"image de5parf.

2.Calculer le taux d"évolution du nombre de maladesentre le cinquième et le septième jour.

3.Calculerf?(t)puis vérifier que, pour touttappar-

tenant à l"intervalle[0;12],f?(t) = 3t(-t+ 8).

4.Étudier le signe def?(t)pourtappartenant à l"in-

tervalle[0;12]. En déduire le tableau de variations def.

5.Retrouver algébriquement le résultat de la question2de la première partie.

Exercice 6ES/Dérivation/exo-011/texte

Un chaudronnier dispose d"une plaque de tôle carrée de90centimètres de côté, avec laquelle il doit fabri- quer une boîte parallélépipédique, sans couvercle, de volume maximal. Pour cela, il découpe dans les angles, quatre carrés identiques de côtéxcentimètres comme l"indique la figure ci-dessous. 90
90
x x x x Par pliage suivant les pointillés, puis soudures, il fa- brique une boîte qui a la forme voulue de volumev(x) (en cm 3).

1.Quelles sont les valeurs que peut prendrex?

2.Exprimerv(x)en fonction dexpuis établir que :

v(x) = 4x3-360x2+ 8100x

3.Soitvla fonction définie sur[0;45]par :

v(x) = 4x3-360x2+ 8100x a) Exprimerv?(x)en fonction dex, oùv?désigne la fonction dérivée dev. b) Étudier le signe dev?(x)sur[0;45]puis dresser le tableau de variations complet dev. c) En déduire les dimensions de la boîte de volume maximal.quotesdbs_dbs4.pdfusesText_7