f : R R x f x =−x2 3 ✓ Étudier les variations de f dans R ✓ Dresser le tableau des variations de f ✓ Construire la courbe représentative de f sur [-3;3]
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Fonctions polynomes du second degré
Inéquations du second degré
Fiche exercices
EXERCICE 1
✔Développer et réduire les expressions suivantes (On peut vérifier les résultats en utilisant le logiciel géogébra par exemple) ✔Factoriser les polynômes suivants : (On peut vérifier les résultats en utilisant le logiciel géogébra par exemple) ✔Transformation du polynôme du 2ième degré ◦Px=-3x25x-2 puis résoudrePx=0
EXERCICE 2
f : RR xfx=-x23✔Étudier les variations de f dans R ✔Dresser le tableau des variations de f ✔Construire la courbe représentative de f sur [-3;3] dans un repère orthogonal. ✔Résoudre graphiquement les équations suivantes : fx=-1◦fx=0 Déterminer ensuite graphiquement le signe de fxEXERCICE 3
Résoudre dans R, le système d'inéquation.Fonctions polynomes du second degré
Inéquations du second degré
EXERCICE 4
f : RR xfx=-14x2-x1
✔Montrer que f admet un maximum pour x = -2 ✔Déterminer les variations de f sur R ✔Construire la courbe représentative de f sur [-6;4] dans le repère orthogonalEXERCICE 5
✔Développer et réduire les expressions suivantes (On peut vérifier les résultats en utilisant le logiciel géogébra par exemple) ✔Factoriser les polynômes suivants : (On peut vérifier les résultats en utilisant le logiciel géogébra par exemple) ✔Résoudre dans R l'équation ◦2x2-5x-7=0EXERCICE 6
✔Développer et réduire le polynômePx=1
2x-12-3✔Déterminer les variations de f définie par :
f : RR xfx=12x2-x-5
2Dresser le tableau de variations de f
✔Construire la courbe représentative de f sur [-3;5] dans un repère orthogonal. ✔Déterminer graphiquement le signe de fx sur l'intervalle [-3;5]Fonctions polynomes du second degré
Inéquations du second degré
EXERCICE 7
EXERCICE 8
ABC est un triangle rectangle isocèle en A.
On choisit la longueur AB pour unité de longueur, c'est à dire AB = AC = 1 Pour x∈[0;1] on considère le point E de [AB] tel que BE=xF est le point d'intersection de la parallèle à (AC) passant par E et de la droite (BC). ✔Réaliser la figure ✔Calculer la valeur maximale de l'aire du triangle EAF (justifier le résultat).Fonctions polynomes du second degré
Inéquations du second degré
CORRECTION
EXERCICE 1
Développer :
B=-30x106x2-2x-13x226
C=-612x218x-24x2-2736x
C=-12x254x-33Factoriser
Fonctions polynomes du second degré
Inéquations du second degré
C=5-7x13x-4
Transformation du polynôme du 2ième degré ✔Px=-3x25x-2Px=-3[x2-5
3x2
3]x2-5
3x25
36=x-5
6
2Px=-3[x-5
62
-25362
3]Px=-3[x-5
62
-253624
36]Px=-3[x-5
62
-1 36]Px=-3x-5
62
1 12Pour résoudre
62
-136]=-3[x-5
62
-162
Px=-3x-5
6-16x-5
61
6
3
Px=0un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des deux facteurs est nul. x-1=0Ou x-2 3=0S={1;2
3}EXERCICE 2
f : RR xfx=-x23✔Étudier les variations de f dans R a et b sont des nombres réels •si Donc -a23-b23 Soit fafbFonctions polynomes du second degré
Inéquations du second degré
f est strictement décroissante sur [0;∞[ -a23-b23 Soit fafb f est strictement croissante sur ]-∞;0] ✔Dresser le tableau des variations de f x-∞0∞ f(x)3 ✔Construire la courbe représentative de f sur [-3;3] dans un repère orthogonal. •S(0;3) est le sommet de la parabole. L' axe de la parabole est (y'y). •fx=-1Les solutions de l'équation
fx=-1 sont les points d'intersection de la courbe représentative de f et de la droite d'équation y=-1Il y a 2 points d'intersection A et B d'abscisses respectives : - 2 et 2S={-2;2}•fx=0
Les solutions de l'équation fx=0 sont les points d'intersection de la courbe représentative de f et de l'axe des abscisses. Il y a 2 points d'intersection E et F d'abscisses respectives : - 1,7 et 1,7S={-1,7;1,7}✔Sur
[-1,7;1,7]la courbe représentative de f est au dessus de l'axe des abscisses donc si x∈[-1,7;1,7] alors fx≥0 ✔Sur [-3;-1,7] ou sur [1,7;3]la courbe représentative de f est en dessous de l'axe des abscisses donc si x∈[-3;-1,7]∪[1,7;3] alorsFonctions polynomes du second degré
Inéquations du second degré
x-3-1,71,73 f(x)-0+0-EXERCICE 3
x12≥2x-32 (2) 1 x=-1 23=xx -∞-1
23∞2 x + 1-0++
3 - x++0-
P(x)-0+0-
S1=]-∞;-1
2]∪[3;∞[
-x4=03x-2=0x=4 x=2Fonctions polynomes du second degré
Inéquations du second degré
x-∞234∞
- x + 4++0-3x - 2-0++
R(x)-0+0-S2=[2
3;4]S=S1∩S2=[3;4]EXERCICE 4
f : RR xfx=-14x2-x1
✔Montrer que f admet un maximum pour x = -2 Pour démontrer que f admet un maximum pour x = -2, il suffit de démontrer que pour tout x de R f-2-fx≥04x2-x1=21
4x2x-1
f-2-fx=14x2x1
f-2-fx=14x24x4
f-2-fx=14x22≥0Donc f(-2) est le maximum de f.
Fonctions polynomes du second degré
Inéquations du second degré
✔Déterminer les variations de f sur RDe la première question, on déduit
2-fx=1
4x22
Soitfx=-1
4x222a et b sont deux réels
•Si4a22-1
4b22
soit -14a222-1
4b222
on a fafbf est strictement décroissante surDonc -1
4a22-1
4b22soit -1
4a222-1
4b222
on a fafb f est strictement croissante sur]-∞;-2]✔Construire la courbe représentative de f sur [-6;4] dans le repère orthogonal
•S-2;2Est le sommet de la parabole. •La droite d'équation : x=-2 est l'axe de la parabole.EXERCICE 5
✔Développer et réduire les expressions suivantesFonctions polynomes du second degré
Inéquations du second degré
A=20x2-148x80
B=-32x2-44x-56✔Factoriser les polynômes suivants :A=5x34x-5-64x-5 A=4x-5[5x3-6]