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TES-coursPolynˆomes du second degr´e1Fonctions polynˆomes du second degr´e (rappels)
1.1 D´efinition
D´efinition : fonction polynˆome du second degr´eUne fonctionfd´efinie surRest une fonction polynˆome de degr´e 2 s"il existe trois r´eelsa,betcavec
a?= 0 tels que pour tout r´eelx,f(x) =ax2+bx+cRemarque :La forme donn´ee dans la d´efinition est la forme d´evelopp´ee maisf(x) peut s"´ecrire de diff´erentes fa¸cons,
notamment sous forme factoris´ee (f(x) =a(x-x1)(x-x2) avecx1etx2r´eels)quand cela est possible ou sous
forme canonique (voir sous section 2)Exemple 1: Identification des coefficientsDonner l"ensemble de d´efinition des fonctions suivantes et d´eterminer s"il s"agit d"une fonction polynˆome de
degr´e 2 (si oui, donner la valeurs des r´eelsa,betc)1.f(x) = (x-2)2+ 32.g(x) = 3x2-x+ 13.h(x) = (x-2)(x+ 1)-x2
1.2 Variations et courbe repr´esentative
Soit la fonction polynˆome du second degr´efd´efinie surRparf(x) =ax2+bx+caveca?= 0.La courbe repr´esentative defest uneparaboledont le sommet a pour coordonn´ees (α;β) avecα=-b2aet
β=f(α).
On peut alors ´ecrirefsous formecanonique :f(x) =a(x-α)2+βTableau de variation :Remarque : Pour ´etudier les variations def, on peut aussi ´etudier le signe de sa d´eriv´eef?(x) = 2ax+b......
Courbe repr´esentative :Exemple 2: Avec la fonction de l"exemple 2 Rappel :fest la fonction polynˆome du second degr´e d´efinie surRparf(x) = 2x2-8x+ 3Donner le tableau de variation defet"l"allure»de la courbe repr´esentative defpuis sa forme canonique.1/4
TES-coursPolynˆomes du second degr´e2Racines et signe du polynˆome du second degr´e2.1 Discriminant
D´efinition : Discriminant d"une fonction polynˆome de degr´e 2Le nombre r´eel not´e Δ =b2-4acest appel´e discriminant defExemple 3: Calcul du discriminant
Avec la fonction de l"exemple 2, calculer le discriminant def. Rappel :fest la fonction polynˆome du second degr´e d´efinie surRparf(x) = 2x2-8x+ 32.2 Solutions de l"´equationf(x) =ax2+bx+c= 0
Il y a trois cas possibles selon le signe de Δ :-CasΔ>0et l"´equationf(x) = 0 admet deux solutions
x1=α+⎷Δ
2a=-b+⎷Δ
2aet x2=α-⎷Δ
2a=-b-⎷Δ
2aOn a alorsf(x) =a(x-x1)(x-x2) (forme factoris´ee def)-CasΔ = 0On alorsf(x) =a(x-α)2
donc l"´equationf(x) = 0 admet une solutionx1=α=-b2a-CasΔ<0l"´equationf(x) = 0 n"a pas de solution.Exemple 4:R´esolutionf(x) = 2x2-8x+ 3 = 0 (fonction de l"exemple3)
D´eterminer les solutions de 2x2-8x+ 3 = 0Exemple 5:R´esolution d"´equations du second degr´e
(voir aussi fiche m´ethode-aide m´emoire second degr´e) R´esoudre dansRles ´equations suivantes :1.3x2-2x-1 = 02.4x2-3x= 03.9x2-5 = 02/4 TES-coursPolynˆomes du second degr´e2.3 Signe du polynˆome du second degr´eCas o`u Δ>0 et le polynˆome admet deux racinesx1etx2(avecx1< x2)Cas o`u Δ<0 et le polynˆome n"admet pas de racine.Cas o`u Δ = 0 et le polynˆome admet une racinex1=-b2a.3/4
TES-coursPolynˆomes du second degr´e2.4 Conclusion et r´esum´e f(x) =ax2+bx+c=a(x-α)2+βavecα=-b2aetβ=f(α) Δ =b2-4acΔ>0Δ = 0Δ<0Deux racinesune racinepas de racine x1=-b-⎷Δ
2ax1=-b2ax
2=-b+⎷Δ
2aExemple 6: ´etude du signe
Etudier le signe de 3x2-2x-1 = 0 (exemple 5.1.)
3Compl´ements
3.1 Somme et produit des racines (casΔ>0)
Si Δ>0, il y a deux racinesx1=-b-⎷Δ
2aetx2=-b+⎷Δ
2a x1+x2=-b-⎷Δ
2a+-b+⎷Δ
2a doncx1+x2=-baet
x1×x2=-b-⎷Δ
2a×-b+⎷Δ
2a =b2-Δ4a2=b2-b2+ 4ac4a2 doncx1x2=caCela permet de contrˆoler les racines obtenues par exemple ou de trouver la seconde racine
quand l"une des deux est"simple»(exemple 5 question1)3.2 Calculatrice
La calculatrice graphique permet de r´esoudre des ´equations de la formeax2+bx+c= 0.Menu : equ
pol : toucheF1 deg 2 : toucheF1Entrer les coefficientsa,betcpuis solve.
Par exemple avec la l"´equation 1 de l"exemple 5 :3x2-2x-1 = 0 Entrer les coefficientsa= 3,b=-2 et
c=-1 puis r´esoudre.