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YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr1SUITES DE MATRICES ET MARCHES ALEATOIRES I. Suites de matrices colonnes 1) Exemples : a) La suite

U n définie pour tout entier naturel n par U n n 2 3n+1 est une suite de matrices colonnes dont les coefficients sont les suites numériques u n et v n définies pour tout entier naturel n par u n =n 2 et v n =3n+1 . b) Soit deux suites numériques couplées u n et v n définies pour tout entier naturel n par : u 0 =2 v 0 =4 et u n+1 =2u n -3v n +1 v n+1 =-u n +5v n -4

On pose pour tout entier naturel n :

U n u n v n

On pose encore :

A= 2-3 -15 et B= 1 -4 . On a alors U 0 2 4 et pour tout entier naturel n, la relation matricielle de récurrence : U n+1 =AU n +B . En effet : AU n +B= 2-3 -15 u n v n 1 -4 2u n -3v n +1 -u n +5v n -4 u n+1 v n+1 =U n+1 c) Soit une suite numérique u n définie par une relation de récurrence d'ordre 2 : u 0 =2 u 1 =-1 et u n+2 =2u n+1 +3u n . On pose pour tout entier naturel n : U n u n u n+1

On pose encore :

A= 01 32
YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr2On a alors U 0 2 -1 et pour tout entier naturel n, la relation matricielle de récurrence : U n+1 =AU n . En effet, AU n 01 32
u n u n+1 u n+1 3u n +2u n+1 u n+1 u n+2 =U n+1

2) Terme général d'une suite de matrices Propriété : Soit une suite de matrices colonnes

U n de taille p telle que pour tout entier naturel n, on a U n+1 =AU n où A est une matrice carrée de taille p. Alors, pour tout entier naturel n, on a : U n =A n U 0

. Démonstration : On démontre cette propriété par récurrence. • Initialisation :

U 0 =A 0 U 0 car A 0 =I p

• Hérédité : - Hypothèse de récurrence : Supposons qu'il existe un entier k tel que la propriété soit vraie :

U k =A k U 0 - Démontrons que : La propriété est vraie au rang k + 1 : U k+1 =A k+1 U 0 U k+1 =AU k =AA k U 0 =AA k U 0 =A k+1 U 0

• Conclusion : La propriété est vraie pour n = 0 et héréditaire à partir de ce rang. D'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel n, soit :

U n =A n U 0

. Méthode : Calculer des termes d'une suite à l'aide de matrices Vidéo https://youtu.be/62U34Kl4o1I Soit deux suites numériques couplées

u n et v n définies pour tout entier naturel n par : u 0 =1 v 0 =-1 et u n+1 =3u n -v n v n+1 =-2u n +2v n

Calculer

u 6 et v 6 . On pose pour tout entier naturel n : U n u n v n

On pose encore :

A= 3-1 -22 YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr3On a alors U 0 1 -1 et pour tout entier naturel n, la relation matricielle de récurrence : U n+1 =AU n . On alors U n =A n U 0 et donc en particulier U 6 =A 6 U 0 . Soit en s'aidant de la calculatrice : U 6 3-1 -22 6 1 -1

2731-1365

-27301366 1 -1 4096
-4096

On en déduit que

u 6 =4096 et v 6 =-4096

. II. Convergence de suites de matrices colonnes Définitions : On dit qu'une suite de matrices colonnes

U n de taille p est convergente si les p suites dont les termes sont les p coefficients de U n

sont convergentes. La limite de cette suite est la matrice colonne dont les coefficients sont les p limites obtenues. Dans tous les autres cas, on dit que la suite est divergente. Exemples : Vidéo https://youtu.be/dbP7R-9Q2_s a) La suite

U n définie pour tout entier naturel n par U n n 2 3n+1 est divergente car lim n→+∞ n 2 et lim n→+∞

3n+1=+∞

. b) La suite U n définie pour tout entier naturel n non nul par U n 1 n n 2 +2 n 2 +1 est convergente et sa limite est la matrice colonne U= 0 1 . Propriété : U n

est une suite de matrices colonnes de taille p définie par la relation matricielle de récurrence

U n+1 =AU n +B

où A est une matrice carrée de taille p et B est une matrice colonne à p lignes. Si la suite

U n est convergente alors sa limite U est une matrice colonne vérifiant l'égalité

U=AU+B

. Démonstration : lim n→+∞ U n+1 =U et lim n→+∞ AU n +B=AU+B . Par unicité des limites, on a

U=AU+B

YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr4 Méthode : Recherche d'une suite constante vérifiant une relation de récurrence Vidéo https://youtu.be/C-2-1yf-O4A Soit une suite

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