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1 a) Le calcul du produit des deux matrices donnent J2 = (0) donc v2 = 0 A 2 Mn (R) telle que tr (A)=0 est semblable à une matrice de diagonale nulle” P (1) étant évidente, Or deux matrices semblables ont même trace donc b = 0

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de M2×2(K) constitué des matrices de trace zéro Rappelons trace nulle, c'est-` a-dire telle que a + d = 0 d) Est-ce que A est une matrice diagonalisable?

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On notera Dn(R) l'ensemble des matrices diagonales On en déduit que ψD(M) est une matrice de trace nulle, et donc que Im ψD ⊂ D0 (ensemble des 

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?? ???????30? ??????? ?????? tr p? i=1A i? xRy??x-y?G. ||?x||F= infy?G||x-y||E. ????? ?? ?? ?? ???? ????? ??U? ???????1????? R 2? x∂f∂x (x,y) +y∂f∂y (x,y) =x2+y2+?x (P|Q) =? 1 0 ?φ?SO(E),?g?G, φ◦g◦φ-1?G 18 (((((((0··· ··· ···0 1 0 1

0...0 1 0)

???? ???g?V ect(Id,f,f2,...,fn-1)? i=1A

Φ :S→S

A?→Ai0A

tr ?1p B? =rg?1p B? 1p tr(B) =rg(B), tr(B) =p.rg(B), ?? ????n? ??A??? ?? ??????? ?????? ????? ???? ?????? ?? ?????? ?? ??????? ??? ???? ????? ????? ??? ((A ?a CD ?0B CD n+1. ???? ??? ???? ????? >0? ?? ??????y??? ??? ? n. a?E? x=rcosθ??y=rsinθ ?????y?= 0??x >0?? ????? ? r=?x

2+y2??θ= 2arctan?

yx+?x 2+y2? ∂f∂r =r?

1 +?cos

4(θ) + sin4(θ)?

f(r,θ) =r22

1 +?cos

4(θ) + sin4(θ)?

+C(θ), f(x,y) =12 (x2+y2) +12 ?x

4+y4+C(θ(x,y)),

??θ(x,y) = 2arctan? yx+?x 2+y2? ?x

4+y4??? ?? ??????

C ?A?= sup i,j|aij|? ??????? ? A

1?··· ···?

0λ2????

0... ...0λn)

?? ???λi???? ??? ??????? ?????? ??A? ?? ? ?

A??k=(

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0λk2????

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?? ???? ???ρ(A)<1? B 1=(

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0λ10???

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=d+n, M |||A|||= sup ||X||=1,X?Mn,1(C)||AX||, ??|| · ||??? ??? ????? ???Mn(C)? ????? ?? ?|||d|||=λ1?? ? |||Bk1|||=|||(d+n)k||| k? i=0?? k i? |||d|||k-i· |||nk|||? 1? i=0?? k i? k-i1· |||ni|||? ???? ???? ??????i??k N f i:Ni→Ni x?→f(x), fi(X) = (x-λi)αi????? r? i=1N i=E? ??????B1,B2,...,Br??? ????? ??N1,N2,...Nr?B= (B1,B2,...,Br)??? ????? ??? B x ?φ◦R-→u ,θ◦φ-1?=???φ◦φ-1◦R-→u ,θ?=???R P N Q H E A M B

D?????

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