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PARTIEA
reste(r=p=1) Or xi+yj=0)xu(i)+yu(j)=0encomposantparu )yj=0caru(i)=u2(j)=0etu(i)=j )y=0carj6=¡!0Danscettebase
Mat(i;j)(u)=µ01
c)Mat(i;jk)(u)=0
@001 000 0001 APARTIEB
dontunebaseest0 @0 @1 1 01 A ;0 @1 0 11 A1 AIm(u)=Vect0
@¡1 ¡2 11 A k=0 @1 0 01 A ;i=0 @¡1 ¡2 11 A ;j=0 @1 1 01 ADoncMNestbienunélémentde¢.
multiplicatifdeGL3(R). @001 000 0001 A pardé...nitiondeP.Donc P¡1MP=0
@10m 010 0011 A =N d)OnaYN=NY=Y3defaçonévidente.Or YN=0 @abma+c demd+f ghmg+i1 A etNY=0 @a+mgb+mhc+mi def ghi1 A Y=0 @abc 0ef 00a1 A 0 @a2b(a+e)2ac+bf0e2f(a+e)
00a21 A =0 @10m 011 0011 AY=§0
@10m=2 010 0011 A ouY=§0 @1bm¡bf20¡1f
0011 A o f)OnalorsX=PYP¡1 2Premièrepartie
deA. cetype.A=PBP¡1)(A+®I)=P(B+®I)P¡1
1. estunehomothétie. E0i=Ej;E0j=Ei;E0k=Eksik=2fi;jg:
Deuxièmepartie
2.A2Mn(R)tellequetr(A)=0:
X nulle".P(1)étantévidente,
Mat(X1X2)(u)=B=µ0a
résultatvoulu. A0=MatX(u)=µ0L1
oùC1=0 B B B@1 0 01 C C (0;0;:::;0)n¡1.LamatriceàblocsdiagonauxQ=µ10
estinversibleetQ¡1=µ10 oùL2=L1PetC2=P¡1C1:La 3. 3 a)A=µ·10 detracenulle.½u(E1)=E1 u(E2)=¡E2donc½E01=E1+E2E02=E1¡E2véri...ent
B=Mat(E01;E02)(u)=µ01
b)Demême,A=0 @2 4100000
00¡13
51A conduitàB=Mat(E01;E02;E03)(u)=0 @2 4001
000 1003
51
A avec8 :E