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de M2×2(K) constitué des matrices de trace zéro Rappelons trace nulle, c'est-` a-dire telle que a + d = 0 d) Est-ce que A est une matrice diagonalisable?

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On notera Dn(R) l'ensemble des matrices diagonales On en déduit que ψD(M) est une matrice de trace nulle, et donc que Im ψD ⊂ D0 (ensemble des 

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?????? ??R[X]??? ??????P???P(X+ 1)P(X)? d???? ???? ??????d? ??? ???P=cdX d++c0X 0? ??(Z;+)??(Z3;+)? ??(U;)??(R;+)? ??(Q;+)??(R;+)? ??(Q;+)??(Z;+)? ????':u2 L(E)7!(ujF;ujG)2 L(F;E) L(G;E)? 1+1x 2+1x

3??12x1+12x2+12x3?

??????()??uvu=u??vuv=v? ?? (u;v)??????()? ??????? ???E= Ker(u)Im(v)??F= Ker(v)Im(u)? ??????F?? ??????? ????? ?????? ?? ??????v2 L(F;E)??? ???(u;v)??????()? ???Ker(v) =F1 ?? ???Im(v) =E1? ??Keru= Keru2? ???Imu= Imu2? ????E= KeruImu? ???? A2 Mn(R)? ???? ??????B??C????Mn(R)?????? ???A???? ????? ?[B;C] =BCCB? ??? ??????X???XA? 0 @a c b b a c c b a1 A ???A? @0 0 0 0 0 1

0 0 01

A @1 0 0 0 0 0

0 0 01

A @11 1 22 2
11 11 A ???M+ Tr(M)A=B? @0 0 0 0 1 0

0 0 11

A ???????BA? ?? ????? ????? ? ??????? Ker =RX

0=R?? ???X

d=X d1????d>1? ???? ???????cdX d1+c1X

0= (cdX

d+c1X ?? ??? ????? ???? ???? ??? ????? ?????? P d2NZX d? h2Gh=Q h2Ggh=gnQ h2Gh? ?? ????? ??dim(L(F;E)L(G;E)) = dim(E)(dim(F)+dim(G))? ?? ???????H????? ?? ???? ?? ?Ker'' L(H;E)? ????dimKer'= dim(E)(dim(E)dim(F+G))? ?? ???? ??'??? ?? ? x1+x2+x3=2??x1x2x3=1? ?? ????P0P =1Xx1+1Xx2+1Xx3????1x 1+1x 2+1x 3= P

0(0)P(0)= 1??12x1+12x2+12x3=P0(2)P(2)=2119

???????x= (xvu(x)) + (vu(x))2Ker(u) + Im(v)? ?? ????? ??vx2Ker(u)\Im(v)? ?? ????xu(y)2Keru??E= Keru+Imu? ??x2Keru\Imu? ?? ????x=u(y)????0 =u(x) = u

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