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PRENOM : Groupe : .

Math´ematiques pour la Biologie (semestre 2) : Feuille-r´eponses du TD 5 La m´ethode de Euler pour l"approximation d"une solution d"une ´equation differentielle

Principe de la m´ethode de Euler

Etant donn´e une ´equation differentielle

dx dt =f(t,x),(1)

on veut approximer, pour une valeur initialex0, une fonctionx(t) qui verifie l"´equation et pour laquelle

on ax(0) =x0. Pour faire cela, on choisit quelques pointstipour lesquels on calcule des approximations

x icorrespondants. On esp`ere quexi≈x(ti). A partir de la valeurx0on peut calculerdx dt (0) =x?(0) `a l"aide de l"´equation (1) en calculantf(0,x0). Comme valeur approximativex1au tempst1= 0 +t1on choisit de prendre x

0+dX=x0+x?(0)·t1.(2)

En g´en´eral, la valeurxi+1est d´etermin´ee en ajoutant Δxi= (ti+1-ti)·f(ti,xi) `a son predecesseur, la

valeurxi: x i+1=xi+ Δxi=xi+ (ti+1-ti)·f(ti,xi).(3)

Fig.1 - Pour approximer la courbe, on suit la droite tangente `a cette courbe. La tangente est donn´ee

par le pointxiet le coefficient directeurx?(ti) =f(ti,x(ti)).

Cette procedure est justifi´ee par les approximations suivants. La deriv´eex?(t) peut ˆetre vue comme

le quotient de deux differences (pour Δtpetit) : Δx

Δt=xi+1-xi

t i+1-ti≈x?(ti).(4)

En isolantxi+1on obtient

x i+1=xi+ (ti+1-ti)·x?(ti),(5)

ou la deriv´ee inconnuex?(t) de la fonctionx(t) - qu"on ne connait pas non plus - est remplac´ee parf(t,x)

correspondant `a (1). Cela donne la sp´ecification (3). 1

Exemple

Considerons l"´equationdx

dt =-2t·x(t), x(0) = 1 (6)

La solution analytique estx(t) =e-t2.

Exercice :Compl´eter le tableau suivant :

i t i x(ti) =e-(ti)2 x i

Δxi= (ti+1-ti)·(-2)ti·xi

x i+1=xi+ Δxi 0 0 1 1 (0.2-0.0)·(-2)·0·1 = 0

1 + 0 = 1

1 0.2 1 (0.4-0.2)·(-2)·0.2·1 =-0.08

1 + (-0.08) = 0.92

2 0.4 0.92 3 0.6 4 0.8 5 1.0 Exercice :Dessiner les valeursxietx(ti) dans un syst`eme de coordonn´eest-x.

M´ethode d"Euler en deux variables

On consid`ere maintenant le syst`eme

x?(t) = 0.08x(t)-0.004x(t)y(t) y ?(t) =-0.06y(t) + 0.002x(t)y(t)

avec une population initialex(0) = 40 lapins ety(0) = 20 renards. On souhaite ´etudier l"´evolution des

deux populations sur une p´eriode de 10 ans. Si on introduit les vecteurs p(t) =µx(t) , f(t,p) =µ0.08x(t)-0.004x(t)y(t) on peut ´ecrire le syst`eme (7) sous la forme p ?(t) =f(t,p), p(0) =µx(0)

La m´ethode d"Euler progressive s"´ecrit

u i+1-ui t i+1-ti=f(ti,ui) ouui+1=ui+ (ti+1-ti)·f(ti,ui) (7) 2 ce qui ´equivaut au sch´ema (on ´ecrit les composants deu= (u1,u2) s´eparement) 8>< :(ui+1)1-(ui)1 t i+1-ti= 0.08(ui)1-0.004(ui)1(ui)2 (ui+1)2-(ui)2 t i+1-ti=-0.06(ui)2+ 0.002(ui)1(ui)2 (u0)1=x(0),(u0)2=y(0).(8) ou, mieux lisible, en utilisant la transformation dans (7) : 8>< :(ui+1)1= (ui)1+ (ti+1-ti)·¡0.08(ui)1-0.004(ui)1(ui)2¢ (ui+1)2= (ui)2+ (ti+1-ti)·¡-0.06(ui)2+ 0.002(ui)1(ui)2¢ (u0)1=x(0),(u0)2=y(0).(9)

Ensuite on peut r´esoudre le syst`eme pas `a pas. En utilisant les notations comme en une dimension,

Δ(ui)1= (ti+1-ti)·¡0.08(ui)1-0.004(ui)1(ui)2¢, Δ(ui)2= (ti+1-ti)·¡-0.06(ui)2+ 0.002(ui)1(ui)2¢, on calcule maintenant des valeurs approximatives pour certains momentsti.

Exercice :Compl´eter le tableau suivant :

i t i (ui)1 (ui)2

Δ(ui)1

(ui+1)1= (ui)1+ Δ(ui)1

Δ(ui)2

(ui+1)2= (ui)2+ Δ(ui)2 0 0 40
20 1 10 2 20 3 30
4 40
5 50
6 60

Exercice :

- Dessiner approximativement le developpement des populations comme dans la figure suivant.

- Comparer ta figure avec celle en bas. Quelle est plus pr´ecise? Pourquoi est-elle plus pr´ecise?

- Dessiner la figure correspondante dans le planx-y. 3quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47