(un)n∈ est bornée si elle est majorée et minorée, ce qui revient à dire : ∃M ∈ ∀n ∈ En utilisant la définition de la limite montrer que limn→+∞ un = 2 Trouver (voir la preuve de la proposition 8) on a en appliquant la fonction racine n-ème, n · : 1 + h n Terminons par un résultat théorique très important Théorème 4
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chapitre n'en est pas moins le plus important de votre cours d'analyse C'est l' Il suffit de montrer séparément que les deux fonctions f(g−l ) et (f −l)l tendent
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Une fonction réelle f est une application d'une partie D de R dans R La partie D est Pour que ceci ait un sens, il faut montrer l'unicité de la limite — quand elle existe Le fait que [a, b] soit un intervalle fermé borné est tr`es important
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Exercice : Si A ⊂ R est majorée, montrer que sa borne supérieure est unique ni injective alors que la fonction h : R+ → R+ définie par h(x) = x2 est bijective et A → N Il est important d'observer que R n'est pas dénombrable : pour cela on
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Montrer que admet une borne inférieure et la déterminer, est-ce un minimum ? 2 Montrer que Remarque : on aurait pu étudier la fonction ]0,1[ ∪ ] 1,+∞[
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Montrer que la fonction γ est bien définie , croissante, et tend vers 0 lorsque t tend vers 0 Prouver l'inégalité suivante : ∣ ∣ ∣ ∫ bx ax
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Soit on calcule à la main les valeurs propres, ce qui prendrait un Du coup, on ne peut que chercher à montrer que la fonction est dérivable en 0 c'est-à-dire si :
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Au passage, il est important de s'interroger sur ce que signifie cette ”preuve”, Exercice 1 2 5 Montrer, en revenant `a la définition de la valeur absolue, que Définition 2 1 1 Une suite numérique est une fonction de N dans l'ensemble des
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(un)n∈ est bornée si elle est majorée et minorée, ce qui revient à dire : ∃M ∈ ∀n ∈ En utilisant la définition de la limite montrer que limn→+∞ un = 2 Trouver (voir la preuve de la proposition 8) on a en appliquant la fonction racine n-ème, n · : 1 + h n Terminons par un résultat théorique très important Théorème 4
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Si f est une fonction continue sur un intervalle fermé borné [a, b] alors f est bornée sur [a, b] et atteint ses bornes sur [a, b] Démonstration Pour montrer que f est
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Les suites
IntroductionL"étude des suites numériques a pour objet la compréhension de l"évolution de séquences de nombres (réels, complexes
...). Ceci permet de modéliser de nombreux phénomènes de la vie quotidienne. Supposons par exemple que l"on place
une sommeSà un taux annuel de 10%. SiSnreprésente la somme que l"on obtiendra aprèsnannées, on a
S0=S S1=S×1,1 ...Sn=S×(1,1)n.
Au bout den=10ans, on possédera doncS10=S×(1,1)10tS×2,59: la somme de départ avec les intérêts cumulés.
1. Définitions
1.1. Définition d"une suiteDéfinition 1.
Unesuiteest une applicationu:N→R.
Pourn∈N, on noteu(n)parunet on l"appellen-èmetermeouterme généralde la suite.La suite est notéeu, ou plus souvent(un)n∈Nou simplement(un). Il arrive fréquemment que l"on considère des suites
définies à partir d"un certain entier natureln0plus grand que 0, on note alors(un)n⩾n0.Exemple 1.
(pn)n⩾0est la suite de termes : 0, 1,p2, p3,... ((-1)n)n⩾0est la suite qui alterne+1,-1,+1,-1,... La suite(Sn)n⩾0de l"introduction définie parSn=S×(1,1)n,(Fn)n⩾0définie parF0=1,F1=1et la relationFn+2=Fn+1+Fnpourn∈N(suite de Fibonacci). Les premiers
termes sont 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...Chaque terme est la somme des deux précédents.1n
2 n⩾1. Les premiers termes sont 1,14 ,19 ,116LES SUITES1. DÉFINITIONS2
1.2. Suite majorée, minorée, bornéeDéfinition 2.
Soit(un)n∈Nune suite.
(un)n∈Nestbornéesi elle est majorée et minorée, ce qui revient à dire : m+1.3. Suite croissante, décroissante
Définition 3.
Soit(un)n∈Nune suite.
(un)n∈Neststrictement croissantesi∀n∈Nun+1>un. (un)n∈Neststrictement décroissantesi∀n∈Nun+1Remarque.
(un)n∈Nest croissante si et seulement si∀n∈Nun+1-un⩾0.Si(un)n∈Nest une suite à termes strictement positifs, elle est croissante si et seulement si∀n∈Nun+1u
n⩾1.Exemple 2.
La suite(Sn)n⩾0de l"introduction est strictement croissante carSn+1/Sn=1,1>1.La suite(un)n⩾1définie parun= (-1)n/npourn⩾1, n"est ni croissante ni décroissante. Elle est majorée par1/2
(borne atteinte enn=2), minorée par-1 (borne atteinte enn=1).LES SUITES2. LIMITES31234561
1 2 12 -1++La suite1n
n⩾1est une suite strictement décroissante. Elle est majorée par1(borne atteinte pourn=1), elle est
minorée par 0 mais cette valeur n"est jamais atteinte.Mini-exercices. 1.La suite nn+1
n∈Nest-elle monotone? Est-elle bornée? 2.La suite
nsin(n!)1+n2 n∈Nest-elle bornée? 3.Réécrire les phrases suivantes en une phrase mathématique. Écrire ensuite la négation mathématique de chacune
des phrases. (a) La suite(un)n∈Nest majorée par7. (b) La suite(un)n∈Nest constante. (c) La suite(un)n∈Nest
strictement positive à partir d"un certain rang. (d)(un)n∈Nn"est pas strictement croissante. 4. Est-il vrai qu"une suite croissante est minorée ?Majorée ? 5.Soit x>0 un réel. Montrer que la suitexnn!
n∈Nest décroissante à partir d"un certain rang.2. Limites2.1. Introduction
Pour un trajet au prix normal de 20 euros on achète une carte d"abonnement de train à50euros et on obtient chaque
billet à 10 euros. La publicité affirme " 50% de réduction ». Qu"en pensez-vous? Pour modéliser la situation en termes de suites, on pose pour un entiern⩾1 : u n=20n v n=10n+50 u nest le prix payé au bout denachats au tarif plein, etvncelui au tarif réduit, y compris le prix de l"abonnement. La
réduction est donc, en pourcentage : 1-vnu n=un-vnu Il faut donc une infinité de trajets pour arriver à 50% de réduction!50%LES SUITES2. LIMITES4
2.2. Limite finie, limite infinie
Soit(un)n∈Nune suite.Définition 4.La suite(un)n∈Na pourlimiteℓ∈Rsi : pour toutε >0, il existe un entier naturelNtel que sin⩾Nalors
|un-ℓ|⩽ε:∀ε >0∃N∈N∀n∈N(n⩾N=⇒ |un-ℓ|⩽ε)
On dit aussi que la suite(un)n∈Ntend versℓ. Autrement dit :unest proche d"aussi près que l"on veut deℓ, à partir
d"un certain rang.ℓℓ+εℓ-ε++++++++ Nnu nDéfinition 5. 1.La suite (un)n∈Ntend vers+∞si :
2.La suite (un)n∈Ntend vers-∞si :
1.On note lim
n→+∞un=ℓou parfoisun----→n→+∞ℓ, et de même pour une limite±∞.
2. lim n→+∞un=-∞ ⇐⇒limn→+∞-un= +∞. 3.On raccourcit souvent la phrase logique en :
∀ε >0∃N∈N(n⩾N=⇒ |un-ℓ|⩽ε).Noter queNdépend deεet qu"on ne peut pas échanger l"ordre du " pour tout » et du " il existe ».
4.L"inégalité|un-ℓ|⩽εsignifieℓ-ε⩽un⩽ℓ+ε. On aurait aussi pu définir la limite par la phrase :∀ε >0∃N∈
N(n⩾N=⇒ |un-ℓ|< ε), où l"on a remplacé la dernière inégalité large par une inégalité stricte.Définition 6.
Une suite(un)n∈Nestconvergentesi elle admet une limitefinie. Elle estdivergentesinon (c"est-à-dire soit la suite
tend vers±∞, soit elle n"admet pas de limite).On va pouvoir parler delalimite, si elle existe, car il y a unicité de la limite :Proposition 1.
Si une suite est convergente, sa limite est unique.Démonstration.On procède par l"absurde. Soit(un)n∈Nune suite convergente ayant deux limitesℓ̸=ℓ′. Choisissons
ε >0 tel queε <|ℓ-ℓ′|2
Comme lim
n→+∞un=ℓ, il existeN1tel quen⩾N1implique|un-ℓ|< ε.De même lim
n→+∞un=ℓ′, il existeN2tel quen⩾N2implique|un-ℓ′|< ε.NotonsN=max(N1,N2), on a alors pour ceN:
|uN-ℓ|< εet|uN-ℓ′|< εLES SUITES2. LIMITES5Donc|ℓ-ℓ′|=|ℓ-uN+uN-ℓ′|⩽|ℓ-uN|+|uN-ℓ′|d"aprèsl"inégalitétriangulaire. On en tire|ℓ-ℓ′|⩽ε+ε=2ε <|ℓ-ℓ′|.
On vient d"aboutir à l"inégalité|ℓ-ℓ′|<|ℓ-ℓ′|qui est impossible. Bilan : notre hypothèse de départ est fausse et
doncℓ=ℓ′.2.3. Propriétés des limitesProposition 2.
1.limn→+∞un=ℓ⇐⇒limn→+∞(un-ℓ) =0⇐⇒limn→+∞|un-ℓ|=0,
2.limn→+∞un=ℓ=⇒limn→+∞|un|=|ℓ|.Démonstration.Cela résulte directement de la définition.Proposition 3(Opérations sur les limites).
Soient(un)n∈Net(vn)n∈Ndeux suites convergentes. 1.Si limn→+∞un=ℓ, oùℓ∈R, alors pourλ∈Ron alimn→+∞λun=λℓ.
2.Si limn→+∞un=ℓetlimn→+∞vn=ℓ′, oùℓ,ℓ′∈R, alors
lim n→+∞(un+vn) =ℓ+ℓ′ lim n→+∞(un×vn) =ℓ×ℓ′ 3.Si limn→+∞un=ℓoùℓ∈R∗=R\{0}alors un̸=0pour n assez grand etlimn→+∞1u
n=1ℓ .Nous ferons la preuve dans la section suivante. Nous utilisons continuellement ces propriétés, le plus souvent sans nous en rendre compte.Exemple 3.
Siun→ℓavecℓ̸=±1, alors
u n(1-3un)-1u2-1.Proposition 4(Opérations sur les limites infinies).
Soient(un)n∈Net(vn)n∈Ndeux suites telles quelimn→+∞vn= +∞.1.limn→+∞1v
n=0 2. Si (un)n∈Nest minorée alorslimn→+∞(un+vn) = +∞. 3. Si (un)n∈Nest minorée par un nombreλ >0alorslimn→+∞(un×vn) = +∞. 4. Si limn→+∞un=0et un>0pour n assez grand alorslimn→+∞1u n= +∞.Exemple 4.La suite(pn)tend vers+∞, donc la suite(1pn
)tend vers 0.2.4. Des preuves!
Nous n"allons pas tout prouver mais seulement quelques résultats importants. Les autres se démontrent de manière
tout à fait semblable. Commençons par prouver un résultat assez facile (le premier point de la proposition 4 "Silimun= +∞alorslim1u n=0.»