un = (−1)n + 1 n n'est pas convergente Exercice 4 Montrer qu'une suite d' entiers qui converge est stationnaire `a partir d'un certain rang Exercice 5 Soit Hn =1
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[PDF] Suites et raisonnements avec des ϵ - Correction des exercices
est alors un majorant de {un,n ∈ N} et donc la suite est bornée Exercice 2 : Montrer qu'une suite de nombres entiers relatifs convergente est stationnaire
[PDF] Suites 1 Convergence
un = (−1)n + 1 n n'est pas convergente Exercice 4 Montrer qu'une suite d' entiers qui converge est stationnaire `a partir d'un certain rang Exercice 5 Soit Hn =1
[PDF] Suites (e)
Exercice e 2 Montrer que la suite (un)n∈N définie par un = (−1)n + 1 n elle est stationnaire 4 Une suite est convergente si et seulement si elle est bornée 5
[PDF] Chapitre 4 – Suites numériques – Exercices dentraˆınement - Math93
Si (u2n)n∈N et (u2n+1)n∈N sont convergentes, de même limite l, il en est de même Montrer qu'une suite d'entiers qui converge est stationnaire `a partir d'un
[PDF] 1 Généralités 2 Suites convergentes ou divergentes
stationnaire (ou plus précisément stationnaire `a partir d'un certain rang) si : Exercice 3 Montrer qu'une suite périodique convergente est nécessairement
[PDF] Fiche de méthodes sur les Suites - Optimal Sup Spé
Montrer qu'une suite est majorée, minorée, bornée, périodique, stationnaire, déterminer sa borne supérieure, inférieure montrer que u est convergente et croissante (resp décroissante) à partir d'un certain rang (u étant alors majorée ( resp
[PDF] Suites - CNRS
Montrer que si une suite est convergente, sa limite est unique que si le point l est répulsif, c'est à dire f (l) > 1 et si lim xn = l alors la suite est stationnaire en l
[PDF] Chapitre 3
Manipulation des suites numériques convergentes et des suites réelles de La proposition précédente montre qu'on peut utiliser un symbole fonctionnel : 1) Tout suite stationnaire (c'est-à-dire constante à partir d'un certain rang) converge
[PDF] Limites
2) Toute suite à termes positifs qui tend vers 0 est décroissante à partir d'un Alors les deux suites convergent et ont même limite elle est stationnaire Indication : noter ℓ1,ℓ2,ℓ3 les trois limites ci-dessus et montrer que ℓ1 = ℓ3 et ℓ2 = ℓ3
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Biblioth`eque d"exercices
´Enonc´es
L1Feuille n◦10Suites
1 Convergence
Exercice 1Soit (un)n?Nune suite deR. Que pensez-vous des propositions suivantes : •Si (un)nconverge vers un r´eellalors (u2n)net (u2n+1)nconvergent versl. •Si (u2n)net (u2n+1)nsont convergentes, il en est de mˆeme de (un)n. •Si (u2n)net (u2n+1)nsont convergentes, de mˆeme limitel, il en est de mˆeme de (un)n. Exercice 2Montrer que toute suite convergente est born´ee. Exercice 3Montrer que la suite (un)n?Nd´efinie par u n= (-1)n+1n n"est pas convergente. Exercice 4Montrer qu"une suite d"entiers qui converge est stationnaire `a partir d"un certain rang.Exercice 5SoitHn= 1 +12
+...+1n1. En utilisant une int´egrale, montrer que?n >01n+ 1?ln(n+ 1)-ln(n)?1n
2. En d´eduire que ln(n+ 1)?Hn?ln(n) + 1.
3. D´eterminer la limite deHn.
4. Montrer queun=Hn-ln(n) est d´ecroissante et positive.
5. Conclusion?
Exercice 6Soitqun entier au moins ´egal `a 2. Pour toutn?N, on poseun= cos2nπq1. montrer queun+q=un,?n?N.
2. Calculerunqetunq+1. En d´eduire que la suiteunn"a pas de limite.
Exercice 7 (Examen 2000)On consid`ere la fonctionf:R-→Rd´efinie par f(x) =x39 +2x3 +19 et on d´efinit la suite (xn)n?0en posantx0= 0 etxn+1=f(xn) pourn?N.1. Montrer que l"´equationx3-3x+ 1 = 0 poss`ede une solution uniqueα?]0,1/2[.
2. Montrer que l"´equationf(x) =xest ´equivalente `a l"´equationx3-3x+1 = 0 et en d´eduire
queαest l"unique solution de l"´equationf(x) =xdans l"intervalle [0,1/2].3. Montrer quef(R+)?R+et que la fonctionfest croissante surR+.En d´eduire que la
suite (xn) est croissante.4. Montrer quef(1/2)<1/2 et en d´eduire que 0?xn<1/2 pour toutn?0.
5. Montrer que la suite (xn)n?0converge versα.
12 Limites
Exercice 8Posonsu2= 1-12
2et pour tout entiern?3,
u n= (1-122)(1-13
2)···(1-1n
2).Calculerun. En d´eduire que l"on a limun=12
Exercice 9D´eterminer les limites lorsquentend vers l"infini des suites ci-dessous; pour cha- cune, essayer de pr´eciser en quelques mots la m´ethode employ´ee.1. 1 ;-12
;13 ;...;(-1)n-1n2. 2/1; 4/3; 6/5;...; 2n/(2n-1);...
3. 0,23 ; 0,233 ;...; 0,233···3 ;...
4. 1n 2+2n2+···+n-1n
2 5. (n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)n 36.?1 + 3 + 5 +···+ (2n-1)n+ 1-2n+ 12
7. n+ (-1)nn-(-1)n 8.2n+1+ 3n+12
n+ 3n 9. ?1/2 + 1/4 + 1/8 +···+ 1/2n?puis⎷2 ; ?2 ⎷2 ; ?2 ?2 ⎷2 ;... 10. 1-13 +19 -127 +···+(-1)n3 n? 11. ?⎷n+ 1-⎷n 12. nsin(n!)n 2+ 113. D´emontrer la formule 1+2
2+32+···+n2=16
n(n+1)(2n+1); en d´eduire limn→∞1+22+32+···+n2n 3. Exercice 10 (M´ethode d"H´eron)Soita >0. On d´efinit la suite (un)n?0paru0un r´eel v´erifiantu0>0 et par la relation u n+1=12 u n+au n? On se propose de montrer que (un) tend vers⎷a.1. Montrer que
u n+12-a=(un2-a)24un2.2. Montrer que sin?1 alorsun?⎷apuis que la suite (un)n?1est d´ecroissante.
3. En d´eduire que la suite (un) converge vers⎷a.
24. En utilisant la relationun+12-a= (un+1-⎷a)(un+1+⎷a) donner une majoration de
u n+1-⎷aen fonction deun-⎷a.5. Siu1-⎷a?ket pourn?1 montrer que
u n-⎷a?2⎷a ?k2 ⎷a 2n-16. Application : Calculer
⎷10 avec une pr´ecision de 8 chiffres apr`es la virgule, en prenant u 0= 3.Exercice 11On consid`ere les deux suites :
u n= 1 +11! +...+1n!;n?N, v n=un+1n!;n?N. Montrer que (un)net (vn)nconvergent vers une mˆeme limite. Et montrer que cette limite est un ´el´ement deR\Q. Exercice 12Soientaetbdeux r´eels,a < b. On consid`ere la fonctionf: [a,b]-→[a,b], suppos´ee continue et monotone, et une suite r´ecurrente (un)nd´efinie par : u0?[a,b] et?n?N, un+1=f(un).
1. On suppose quefest croissante. Montrer que (un)nest monotone et en d´eduire sa conver-
gence vers une solution de l"´equationf(x) =x.2. Application :
u0= 4 et?n?N, un+1=4un+ 5u
n+ 3.3. On suppose quefest d´ecroissante. Montrer que les suites (u2n)net (u2n+1)nsont mono-
tones et convergentes.4. Application :
u 0=12 et?n?N, un+1= (1-un)2. Calculer les limites des suites (u2n)net (u2n+1)n. Exercice 131. Soienta,b >0. Montrer que⎷ab?a+b22. Montrer les in´egalit´es suivantes (b?a >0) :
a?a+b2 ?beta?⎷ab?b.3. Soientu0etv0des r´eels strictement positifs avecu0< v0. On d´efinit deux suites (un) et
(vn) de la fa¸con suivante : u n+1=⎷u nvnetvn+1=un+vn2 (a) Montrer queun?vnquel que soitn?N. (b) Montrer que (vn) est une suite d´ecroissante. 3 (c) Montrer que (un) est croissante En d´eduire que les suites (un) et (vn) sont conver- gentes et quelles ont mˆeme limite.Exercice 14Soitn?1.
1. Montrer que l"´equation
n? k=1xk= 1 admet une unique solutionandans [0,1].2. Montrer que (an)n?Nest d´ecroissante minor´ee par12
3. Montrer que (an) converge vers12
4Biblioth`eque d"exercicesIndications
L1Feuille n◦10Suites
Indication 1Dans l"ordre c"est vrai, faux et vrai. Lorsque c"est faux chercher un contre- exemple, lorsque c"est vrai il faut le prouver.Indication 2
´Ecrire la d´efinition de la convergence d"une suite (un) avec "lesε". Comme on a une proposition qui est vraie pour toutε >0, c"est en particulier vrai pourε= 1. Cela nous donne un "N". Ensuite s´eparez la suite en deux : regardez lesn < N(il n"y a qu"un nombre fini de termes) et lesn?N(pour lequel on utilise notreε= 1). Indication 3On prendra garde `a ne pas parler de limite d"une suite sans savoir au pr´ealable qu"elle converge!Vous pouvez utiliser le r´esultat du cours suivant : Soit (un) une suite convergeant vers la limite
?alors toute sous-suite (vn) de (un) a pour limite?.Indication 4
´Ecrire la convergence de la suite et fixerε=12 Indication 51. En se rappellant que l"int´egrale calcule une aire montrer :1n+ 1??
n+1 ndtt ?1n2. Pour chacune des majoration il s"agit de faire la somme de l"in´egalit´e pr´ec´edente et de
s"apercevoir que d"un cot´e on calculeHnet de l"autre les termes s"´eliminent presque tous deux `a deux.3. La limite est +∞.
4. Calculerun+1-un.
5. C"est le th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass.
Indication 6Pour la deuxi`eme question, raisonner par l"absurde et trouver deux sous-suites ayant des limites distinctes. Indication 7Pour la premi`ere question : attention on ne demande pas de calculerα! L"exis-tence vient du th´eor`eme des valeurs interm´ediaires. L"unicit´e vient du fait que la fonction est
strictement croissante. Pour la derni`ere question : il faut d"une part montrer que (xn) converge et on note?sa limite et d"autre part il faut montrer que?=α.Indication 8Remarquer que 1-1k
2=(k-1)(k+1)k.k
. Puis simplifier l"´ecriture deun. Indication 101. C"est un calcul de r´eduction au mˆeme d´enominateur.2. Pour montrer la d´ecroisance, montrer
un+1u n?1.3. Montrer d"abord que la suite converge, montrer ensuite que la limite est⎷a.
14. Penser `a ´ecrireu2n+1-a= (un+1-⎷a)(un+1+⎷a).
5. Raisonner par r´ecurrence.
6. Pouru0= 3 on au1= 3,166..., donc 3?⎷10?u1et on peut prendrek= 0.17 par
exemple etn= 4 suffit pour la pr´ecision demand´ee. Indication 111. Montrer que (un) est croissante et (vn) d´ecroissante.2. Montrer que (un) est major´ee et (vn) minor´ee. Montrer que ces suites ont la mˆeme limite.
3. Raisonner par l"absurde : si la limite?=pq
alors multiplier l"in´egalit´euq?pq ?vqparq! et raisonner avec des entiers. Indication 12Pour la premi`ere question et la monotonie il faut raisonner par r´ecurrence. Pour la troisi`eme question, remarquer que sifest d´ecroissante alorsf◦fest croissante et appliquer la premi`ere question. Indication 14On noterafn: [0,1]-→Rla fonction d´efinie parfn(x) =?n k=1xk-1.1. C"est une ´etude de la fonctionfn.
2. On sait quefn(an) = 0. Montrer par un calcul quefn(an-1)>0, en d´eduire la d´ecroissance
de (an). En calculantfn(12 ) montrer que la suite (an) est minor´ee par123. Une fois ´etablie la convergence de (an) vers une limite?compos´ee l"in´egalit´e12
?? < an parfn. Conclure. 2Biblioth`eque d"exercicesCorrections
L1Feuille n◦10Suites
Correction 11. Vraie. Toute sous-suite d"une suite convergente est convergente et admet la mˆeme limite.2. Faux. Un contre-exemple est la suite (un)nd´efinie parun= (-1)n. Alors (u2n)nest la
suite constante (donc convergente) de valeur 1, et (u2n+1)nest constante de valeur-1.Cependant la suite (un)nn"est pas convergente.
3. Vraie. La convergence de la suite (un)nvers?, que nous souhaitons d´emontrer, s"´ecrit :
?ε >0?N?Ntel que (n?N? |un-?|< ε. Fixonsε >0. Comme, par hypoth`ese, la suite (u2p)pconverge vers?alors il existeN1tel2p?N1? |u2p-?|< ε.
Et de mˆeme, pour la suite (u2p+1)pil existeN2tel que2p+ 1?N1? |u2p+1-?|< ε.
SoitN= max(N1,N2), alors
n?N? |un-?|< ε.Ce qui prouve la convergence de (un)nvers?.
Correction 2Soit (un) une suite convergeant vers??R. Par d´efinition ?ε >0?N?N?n?N|un-?|< ε. Choisissonsε= 1, nous obtenons leNcorrespondant. Alors pourn?N, nous avons|un-?|<1, soit?-1< un< ?+ 1. NotonsM= maxn=1,...,N{un}et puisM?= max(M,?+ 1). Alors pour toutn?Nun?M?. De mˆeme en posantm= minn=1,...,N{un}etm?= min(m,?-1) nous obtenons pour toutn?N,un?m?. Correction 3Beaucoup d"entre vous ont compris queunn"avait pas de limite, mais peu sontarriv´e `a en donner une d´emonstration formelle. En effet, d`es lors qu"on ne sait pas qu"une suite
(un) converge, on ne peut pas ´ecrire limun, c"est un nombre qui n"est pas d´efini. Par exemple
l"´egalit´e limn→∞(-1)n+ 1/n= limn→∞(-1)n n"a pas de sens. Par contre voil`a ce qu"on peut dire :Comme la suite1/ntend vers 0 quandn→ ∞, la suiteunest convergente si et seulement si la suite(-1)nl"est. De plus, dans le cas
o`u elles sont toutes les deux convergentes, elles ont mˆeme limite.Cette affirmation provient tout simplement du th´eor`eme suivant Th´eor`eme: Soientunetvndeux suites convergeant vers deux limitesletl?. Alors la suite w n=un+vnest convergente (on peut donc parler de sa limite) et limwn=l+l?. 1De plus, il n"est pas vrai que toute suite convergente doitforc´ement ˆetre croissante et major´ee
ou d´ecroissante et minor´ee. Par exemple, (-1)n/nest une suite qui converge vers 0 mais quin"est ni croissante, ni d´ecroissante. A ce propos d"ailleurs, on ne dit pas d"une suite qu"elle est
croissante pournpair et d´ecroissante pournimpairmˆeme si je comprends ce que cela signifie. On dit qu"une telle suite n"est ni croissante ni d´ecroissante (et c"est tout). Voici maintenant un exemple de r´edaction de l"exercice. On veut montrer que la suiteunn"estpas convergente. Supposons donc par l"absurde qu"elle soit convergente et notonsl= limn→∞un.
(Cette expression a un sens puisqu"on suppose queunconverge). Rappel 1.Unesous-suitedeun(on dit aussisuite extraitedeun) est une suitevnde la formevn=uφ(n)o`uφest une application strictement croissante deNdansN. Cette fonction φcorrespond "au choix des indices qu"on veut garder" dans notre sous-suite. Par exemple, si on ne veut garder dans la suiteunque les termes pour lesquelsnest un multiple de trois, on pourra poserφ(n) = 3n, c"est `a direvn=u3n. Consid´erons maintenant les sous-suitesvn=u2netwn=u2n+1de (un). On a quevn=1 + 1/2n→1 et quewn=-1 + 1/(2n+ 1)→ -1. Or on a le th´eor`eme suivant sur les
sous-suites d"une suite convergente : Th´eor`eme: Soitunune suite convergeant vers la limitel(le th´eor`eme est encore vrai si l= +∞oul=-∞). Alors, toute sous suitevndeuna pour limitel. Par cons´equent, ici, on a que limvn=let limwn=ldoncl= 1 etl=-1 ce qui est une contradiction. L"hypoth`ese disant que (un) ´etait convergente est donc fausse. Doncunne converge pas.Montrons queunest born´ee. On a que
-1?(-1)n?10?1/n?1
donc -1?un?2 doncunest born´ee.Rappel 2.Le th´eor`eme de Bolzano-We¨ıerstrass dit ceci : Soit (un) une suite de r´eels born´ee.
Alors, il existe une sous-suite de (un) qui est convergente. (C"est un th´eor`eme tr`es puissant).
Ici, on nous demande d"exhiber une sous-suite deunqui soit convergente. Mais on a d´ej`a vu quevn=u2n→1.vn=u2nest donc une suite extraite convergente. Remarque: Il y a d"autres sous-suites convergentes : (u4n) (u2n), (un!) et (u3n) sont des sous-suites convergentes deun. Correction 4Soit (un)nune suite d"entiers qui converge vers??R.Dans l"intervalleI=]?-12
,?+12 [ de longueur 1, il existe au plus un ´el´ement deN. DoncI∩N est soit vide soit un singleton{a}.La convergence de (un)ns"´ecrit :
?ε >0?N?Ntel que (n?N? |un-?|< ε).Fixonsε=12
, nous obtenons leNcorrespondant. Et pourn?N,un?I. Mais de plusunest un entier, donc n?N?un?I∩N. 2 En cons´equent,I∩Nn"est pas vide (par exempleuNen est un ´el´ement) doncI∩N={a}. L"implication pr´ec´edente s"´ecrit maintenant : n?N?un=a. Donc la suite (un)nest stationnaire (au moins) `a partir deN. En prime, elle est bien ´evidemment convergente vers?=a?N.Correction 51. La fonctiont?→1t
est d´ecroissante sur [n,n+ 1] donc1n+ 1??
n+1 ndtt ?1n (C"est un encadrement de l"aire de l"ensemble des points (x,y) du plan tels quex? [n,n+ 1] et 0?y?1/xpar l"aire de deux rectangles.) Nous obtenons l"in´egalit´e :1n+ 1?ln(n+ 1)-ln(n)?1n
2.Hn=1n
+1n-1+···+12 + 1, nous majorons chaque terme de cette somme en utilisant l"in´egalit´e 1k ?ln(k)-ln(k-1) obtenue pr´ec´edemment : nous obtenonsHn?ln(n)- ln(n-1) + ln(n-1)-ln(n-2) +···+ ln2-ln1 + 1. Cette somme est t´elescopique (la plupart des termes s"´eliminent et en plus ln1 = 0) et donneHn?lnn+ 1.L"autre in´egalit´e s"obtient de la fa¸con similaire en utilisant l"in´egalit´e ln(k+1)-ln(k)?1k