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On dira que quatre points (ou leurs affixes complexes) sont cocycliques s'ils appartiennent à un même cercle ou s'ils sont alignés trois points soient alignés 2 Montrer que, si a, b, c et d sont alignés, alors [a, b, c, d] ∈ R

est réel Exercice 3 Montrer que quatre points distincts A, B, C, D sont alignés ou cocycliques si et seulement si le birrapport

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10) et peut éventuellement être omis si l'on sait s'en passer pour démontrer le Le crit`ere de cocyclicité ou d'alignement — Des points sont dits cocycliques

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Exercice 1 1 KK Montrer que si on désire définir une multiplication sur les couples de réels de sorte que : 1 on ait points sont cocycliques ou alignés ssi c − a

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(ii) Nous allons montrer la double inclusion : • Soient T Théorème 2 : Quatre points A, B, C, D distincts sont alignés ou cocycliques si et seulement si ( −→

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Justifier 4) Démontrer que les points D, E, F, H sont cocycliques c'est-à-dire situés sur un même cercle (

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c) Montrer que le birapport de 4 points est réel si et seulement si les 4 points sont alignés ou cocycliques d) Prouver que si 4 points d'affixes non nulles sont

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A, B sont deux points distincts de C Pour tout point T de la tangente en A à C, distinct de A, on a : 2( Des points sont dits cocycliques s'il existe un cercle qui

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28 fév 2020 · Si A et B sont deux points d'affixes a et b alors b − a est l'affixe du vecteur On montre que j3 = 1 d'après l'équation dont il est solution complexes A, B, C, D d' affixes a, b, c, d sont cocycliques (sur un même cercle) si

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que A(1 + i), et que ces deux points sont sur la premi`ere bissectrice de P ) ce qui montre que O appartient `a la médiatrice du segment [BC] Finalement cocycliques si et seulement si z est l'affixe d'un point du cercle de centre Ω(1/2) et de

TD n°3 : Complexes

PTSI B Lycée Eiffel

11 octobre 2012

Problème 1

On considère dans ce problème l"applicationf:C!Cdéfinie parf(z) = 2z(1z).

1. Déterminer les points du plan complexe invariants par l"applicationf.

2. Déterminer les antécédents parfde4, ainsi que ceux de2 + 2i.

3. Déterminer les nombres complexes ayant une image réelle parf. Déterminer l"image de l"axe

réel parf.

4. Déterminer une condition pour que deux nombres complexesz1etz2aient la même image par

f. Interpréter ce résultat géométriquement.

5. Quels sont les nombres complexes ayant au moins un antécédent parf? Et ceux en ayant

exactement un?

6. Montrer que siz2iR, son image se situe sur la parabole d"équation cartésiennex=y22

7. On cherche désormais à expliciter l"image parfdu cercle trigonométriqueU.

(a) Soitz=ei, avec2[0;]. Calculer le module et l"argument def(z). (b) Placer dans le plan complexe les points correspondant àf(ei)pour= 0,=6 ,=3 =2 ,=23 ,=56 et=. Tracer à partir de ces points une allure de l"image du demi-cercle trigonométrique supérieur.

en effectuant une transformation géométrique simple. En déduire l"allure def(U).

Problème 2

On définit dans ce problème le birapport de quatre nombres complexesa,b,cetdcomme le nombre[a;b;c;d] =(ab)(cd)(cb)(ad). On dira que quatre points (ou leurs affixes complexes) sont cocycliques s"ils appartiennent à un même cercle ou s"ils sont alignés.

1. À quoi correspond, géométriquement,argabcb

? En déduire une condition simple pour que trois points soient alignés.

2. Montrer que, sia,b,cetdsont alignés, alors[a;b;c;d]2R.

3. Montrer que, sia,b,cetdappartiennent à un même cercle de centre!(z)et de rayonr,

[a;b;c;d]2R(on pourra noter,, etles arguments des nombresaz,bz,czet dz).

4. En déduire que quatres points cocycliquesA,B,CetDdans le plan vérifient\ABC\ADC[].

5. On suppose quea,betcsont réels. Montrer que, si[a;b;c;d]2R, alorsd2R.

6. On pose pour les dernières questionsf(z) =i1 +z1z. Montrer quez2U,f(z)2R.

7. Montrer que,[f(a);f(b);f(c);f(d)] = [a;b;c;d](quand cela a un sens).

8. Montrer que, sia,betcsont des nombres complexes de module1(distincts de1), et si

[a;b;c;d]2R, alorsd2U. que se passe-t-il si l"un des quatres nombres est égal à1? On peut en fait plus généralement démontrer que si[a;b;c;d]2R, les pointsa,b,cetdsont nécessairement cocycliques. 1quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47