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que A(1 + i), et que ces deux points sont sur la premi`ere bissectrice de P ) ce qui montre que O appartient `a la médiatrice du segment [BC] Finalement cocycliques si et seulement si z est l'affixe d'un point du cercle de centre Ω(1/2) et de

LEÇON N° 31 :

Théorème de l'angle inscrit. Cocyclicité.

Applications.

Pré-requis:

-Angles orientés de vecteurs, mesure principale, notation "modulo »; -Relation de Chasles; -π= mesure de l'angle plat (indépendant de l'orientation choisie du plan);

-Pour tout triangleABC,(-→AB,-→AC) + (--→BC,-→BA) + (-→CA,--→CB) =π(mod 2π).

On se place dans le plan affine euclidien orientéP.

31.1 L'angle inscrit

Définition 1 : SoientCun cercle de centreOetM,A,Btrois points distincts de ce cercle. L'angle

orienté(--→MA,--→MB)est appelé l'angle inscrit. L'angle(-→OA,--→OB)est appelé l'angle au centre.

Théorème 1 : SoientCun cercle de centreOetM,A,Btrois points distincts de ce cercle. On a alors 1

2(-→OA,-→OB) = (--→MA,--→MB) (modπ)ou(-→OA,-→OB) = 2(--→MA,--→MB) (mod 2π).

démonstration: O? M A B?

Comme les trianglesOAMetOBMsont isocèles, on a

OA,--→OM) =π-2(--→MO,--→MA) (mod 2π)et (--→OM,--→OB) =π-2(--→MB,--→MO) (mod 2π). En utilisant la relation de Chasles, on obtient donc OA,--→OB) = 2π-2?(--→MB,--→MO) + (--→MO,--→MA)?(mod 2π) =-2(--→MB,--→MA) (mod 2π) = 2(--→MA,--→MB) (mod 2π), d'où le résultat.?

2Théorème de l'angle inscrit

Corollaire 1 : Soitτla tangente au cercleCenA, etTun point deτ. Alors 1

2(-→OA,-→OB) = (-→AT,-→AB) (modπ).

démonstration: O? A? A? B T SoitA?le point deCdiamétralement opposé àA. Alors A?A,--→A?B) = (-→AT,--→AB) (modπ).

Donc, par le théorème 1, on a

2(-→OA,--→OB) = (--→A?A,--→A?B) (modπ)

AT,--→AB) (modπ),

d'où le résultat.?

Corollaire 2 : On a

(-→AT,-→AB) = (--→MA,--→MB) (modπ).

démonstration:Le corollaire 1 implique que12(-→OA,--→OB) = (-→AT,--→AB) (modπ). Le théorème1,

quant à lui, implique que 1

2(-→OA,--→OB= (--→MA,--→MB) (modπ). Par soustraction membre à membre, on

obtient0 = (-→AT,--→AB)-(--→MA,--→MB) (modπ), soit(-→AT,--→AB) = (--→MA,--→MB) (modπ).?

31.2 Lignes de niveau

Dans la suite,AetBsont deux points distincts deP, etαun réel donné. On pose

π={M?P|(--→MA,--→MB) =α(modπ)}etΓα2π={M?P|(--→MA,--→MB) =α(mod 2π)}.

Proposition 1 :

(i) Siα= 0 (modπ), alorsΓαπ= (AB);

(ii) Siα?= 0 (modπ), alorsΓαπest le cercle passant parAetBde centre l'intersection de la

droite perpendiculaire à(AT)(elle-même définie par(-→AT,-→AB) =α(modπ)) passant par

Aet de la médiatrice de[AB].

démonstration:Le cas (ii) ci-dessus est illustré dans cette démonstation. (i) trivial

Théorème de l'angle inscrit3

(ii) Nous allons montrer la double inclusion : SoientT?=Aun point tel que(-→AT,--→AB) =α(modπ), Ol'intersection de la perpendiculaireΔà(AT)passant parAet de la médiatriceDde[AB], etCle cercle de centreOpassant parA(et donc aussi parB). Remarquons que(AT)est la tangente àCenA. SiMest un point deC, le corollaire 2 nous assure que(--→MA,--→MB) =α (modπ), doncM?Γαπ. On a doncC?Γαπ. Réciproquement, siM?Γαπ, alors on a par hypothèse (α?= 0 (modπ)) queM,A,Bsont non alignés. Il existe donc un cercleC?passant par ces trois points. SoientO? O A? B? M T

son centre etτla tangente enAàC?etT?τ. Alors par le corollaire 2,(-→AT,--→AB) = (--→MA,--→MB)

(modπ), ce qui détermineτetO(comme intersection de "Δ" etD). DoncC?=CetM?C, d'oùΓαπ?C.?

Proposition 2 :

(i) Siα= 0 (mod 2π), alorsΓα2π= (AB)\[AB]; (ii) Siα=π(mod 2π), alorsΓα2π=]AB[; (iii) Sinon,Γα2πest l'un des deux arcs AB(AetBexclus) suivant le cercle défini dans la proposition A (ii), déterminé par l'appartenance deα(mod 2π)à l'intervalle]-π,0[ou]0,π[. démonstration: (i)-(ii) trivial (iii) Remarquons queΓαπ= Γα2π?Γα+π2π, doncΓα2π?Γαπ. Or(--→AB,--→AM)et(--→MA,--→MB)sont de même sens et changent donc simultanément de sens selon la position de Mpar rapport à la droite(AB)(par hypothèse,M?? (AB)). Si la mesure principale d'un angle(--→MA,--→MB)défini mo- dulo2πpour un point deΓα2πest dans]0,π[(resp.]-π,0[), celle d'un angle analogue pour un point deΓα+π2πest dans ]-π,0[(resp.]0,π[). Par suite, les angles(--→MA,--→MB) pourM?Γα2πetM?Γα+π2πsont de sens opposés, donc

2πest l'un des arcs

ABetΓα+π2πl'autre.M

A B Conséquence de la proposition 1: On a le critère de cocyclicité suivant : Théorème 2 : Quatre pointsA,B,C,Ddistincts sont alignés ou cocycliques si et seulement si CA,--→CB) = (--→DA,--→DB) (modπ).

4Théorème de l'angle inscrit

démonstration:

"?» :Si alignés, l'égalité est immédiate. Supposons alorsA,B,C,Dcocycliques et notonsOle

centre du cercle obtenu. Alors le théorème 1 nous assure que 1

2(-→OA,--→OB) = (-→CA,--→CB) (modπ)et12(-→OA,--→OB) = (--→DA,--→DB) (modπ),

D'où(-→CA,--→CB) = (--→DA,--→DB) (modπ).

"?» :Notonsαla mesure principale de(-→CA,--→CB), de sorte que(-→CA,--→CB) =α(modπ)et

(--→DA,--→DB) =α(modπ). D'oùC,D?Γαπet donc, par la proposition 1,C,D?(AB)si

α= 0 (modπ)et les quatre points sont alignés, ou alorsC,D?CavecCcercle passant par

AetB, et les quatre points sont cocycliques.?

31.3 Applications

31.3.1 Symétries

Proposition 3 :

SoitABCun triangle non aplati,Hson ortho-

centre etCson cercle cireconscrit. Les trois cercles définis par symétrie deCpar rapport aux côtés du triangle sont concourrants enH. (les notations supplémentaires présentes sur la figure se- ront introduites dans la démonstration)A B C A? B? C? ??H H1 H2? ??H3 démonstration:SoientH1,H2etH3les symétriques deHpar rapport à(BC),(AC)et(AB). Par définition de la hauteur,(--→AC?,--→HC?) =π

2(modπ)et(--→AB?,--→HB?) =π2(modπ). Donc d'après le

théorème 2, les pointsA,H,B?,C?sont cocylciques. De plus, puisqu'une symétrie axiale change les

angles orientés en leurs opposés, on a les égalités suivantes, moduloπ:

H1B,--→H1C) =-(--→HB,--→HC) =-(--→HB?,--→HC?) = (--→HC?,--→HB?)thm 2= (--→AC?,--→AB?) = (--→AB,-→AC),

donc (toujours par le théorème 2), les pointsA,B,C,H1sont cocycliques, d'oùH1?C. On montre de

la même manière queH2,H3?C. Le symétrique deC(contenantB,C,H1) par rapport à(BC)passe donc parB,CetH, et on montre ainsi avec les deux autres cercles que le pointHest leur seul point d'intersection.?

Théorème de l'angle inscrit5

31.3.2 Point de Miquel

Proposition 4 :

SoitABCun triangle non aplati,Dune droite

coupant respectivement(BC),(AC)et(AB)en

D,EetF. Les cercles circonscrits aux triangles

ABC,DBF,AEF,DECsont concourrants en

un point appelépoint de Miquel.F A EDB DC

démonstration:NotonsC1àC4les quatres cercles donnés par l'énoncé (dans le même ordre).Best

une intersection deC1etC2, nous allons donc noterMl'autre. On a alors queM?=B , car sinon il existerait une homothétie transformantC1enC2, en particulierAenFetCenD, ce qui impliquerait que(AC)//(DF), ce qui est absurde.

On montre de même, en utilisantC2etC3, queM?=E

Ensuite,M?=A

(resp.M?=C,M?=D,M?=F) car sinonC2(resp.C2,C1,C1) contiendraitA,B,F (resp.B,C,D;B,C,D;A,B,F) qui sont alignés. On peut ainsi appliquer le théorème 2 au cercleC2:

DM,--→DF) = (--→BM,--→BF) (modπ)?(--→DM,--→DE) = (--→BM,--→BA) (modπ),

et au cercleC1: CM,-→CA) = (--→BM,--→BA) (modπ),

donc(--→DM,--→DE) = (--→CM,-→CA) (modπ) = (--→CM,--→CE) (modπ), et doncM?C4.

De plus,(--→DM,--→DB) = (--→DM,--→DC) (modπ)?(--→FM,--→FB) =--→EM,--→EC) (modπ)(théorème 2

dans les cerclesC2etC4), ce qui est encore équivalent à FM,-→FA) =--→EM,-→EA) (modπ)?M?C3.

Finalement, le pointMse trouve sur chacun des cerclesC1àC4, le résultat est ainsi démontré.?

6Théorème de l'angle inscrit

31.3.3 Droite de Simson

Proposition 5 :

SoitABCun triangle non aplati,S?Pet

P,Q,Rles projetés orthogonaux deSsur les trois

côtés. AlorsP,Q,Rsont alignés si et seulement siS est sur le cercle circonscrit au triangleABC.B A C ??S P R Q

démonstration:On a(AC)?(RS)et(AB)?(QS), donc(-→AR,-→AQ) = (--→AB,-→AC) (modπ) =

(-→SR,-→SQ) (modπ)thm 2?A,S,R,Qcocylcilquesthm 2?(--→RQ,-→RS) = (-→AQ,-→AS) (modπ). On montre

de même que (BC)?(PS)et(AC)?(RS)thm 2?(-→RS,-→RP) = (-→CS,--→CP) (modπ).

Donc(--→RQ,-→RP) = (--→RQ,-→RS) + (-→RS,-→RP) = (-→AQ,-→AS) + (-→CS,--→CP) (modπ). Ainsi,P,Q,Rali-

gnés?(--→RQ,-→RP) = 0 (modπ)?(-→AQ,-→AS) = (--→CP,-→CS) (modπ)?(--→AB,-→AS) = (--→CB,-→CS)

(modπ)?S,A,B,Ccocycliques?Sest sur le cercle circonscrit au triangleABC.? c ?2010 par Martial LENZEN.

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