5 3 droites coplanaires rappel Deux droites sont coplanaires si et seulement si elle sont parallèles ou sécantes Pour montrer que deux droites ne sont pas
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[PDF] Chapitre 13 Droites, plans et vecteurs de lespace - Maths-francefr
Si 3 et 3′ sont deux droites sécantes de l'espace, il existe un plan et un seul Démontrer que la droite (IJ) est sécante au plan (BCD) et construire le point de plan sont beaucoup moins utilisées dans la pratique de terminale S que les
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Propriété : Deux droites de l'espace sont soit coplanaires (dans un même plan) soit Propriété : Deux plans de l'espace sont soit sécants soit parallèles P1 et P2 sont sécants Méthode : Démontrer que des droites sont orthogonales
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5 3 droites coplanaires rappel Deux droites sont coplanaires si et seulement si elle sont parallèles ou sécantes Pour montrer que deux droites ne sont pas
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droites →Pour démontrer que deux droites sont parallèles ou sécantes, il faut d' abord montrer qu'elles sont coplanaires Il s'agit de trouver un plan contenant
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Pour montrer que deux droites (AB) et (CD) sont parallèles: Pour montrer qu' elles ne sont pas sécantes : On résout les équations x=x, y=y et z=z, on obtient
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Montrons que les droites ne sont pas coplanaires, pour cela nous allons montrer que les deux droites sont ni sécantes ni parallèles • Un vecteur directeur de (D1)
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26 jui 2013 · 1 TERMINALE S le parallélisme : deux droites parallèles sont représentées par des droites paral- Si ces deux plans 乡1 et 乡2 sont sécants en une droite ∆, alors la droite 2) Montrer que A, B, C et D sont coplanaires
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Deux plans de l'espace sont soit sécants (leur intersection est une droite), soit Il s'agit de démontrer que trois vecteurs sont coplanaires en écrivant l'un en
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Terminale S 1 SAES Guillaume ou sécantes Remarque : Deux droites coplanaire sont deux droites appartenant à un même plan Deux plans de l' espace sont soit sécants suivant une droite, soit parallèles Plans sécants Cette remarque permet de démontrer le théorème du toit énoncé précédemment Propriété 2 :
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Chapitre 11 Droites, plans et vecteurs de l'espace Terminale S Supposons que P1 et P2 sont sécants et soit d la droite d'intersection de ces deux plans
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Leçon 3Droites et plans dans l"espace
Le plan est rapporté à un repère(O,-→ı ,-→? ,-→k).1 droites et plans de base
x=0 z=0 y=0 O xyzLe plan de base(xOy)a pour équationz= 0.
Le plan vertical(yOz)a pour équationx= 0.
Le plan vertical(xOz)a pour équationy= 0.
L"axe(Ox)est caractérisé par?
y= 0 z= 0L"axe(Oy)est caractérisé par?
x= 0 z= 0L"axe(Oz)est caractérisé par?
x= 0 y= 02 rappels
2.1 vecteurs colinéaires
définition.Deux vecteurs-→uet-→vsont colinéaires si et seulement si il existe un réelktel que-→u=k-→vou-→v=k-→u
remarque .Avec cette définition le vecteur nul-→0est colinéaire avec tous les vecteurs.2.2 alignement
rappel .Les trois points A,B et C sont alignés si et seulement les vecteurs--→ABet-→ACsont colinéaires.
2.3 coordonnées
rappel .Le vecteur--→ABa pour coordonnées? xB-xAyB-yAz B-zA?rappel .Deux vecteurs de l"espace sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles.
3 principes d"élimination
Principe :Dans un système comportant des lignes(Li), on peut remplacer une ligne(Lk)parα(Lk) +β(Lj)
avecα?= 0etj?=k. 104. REPRÉSENTATION PARAMÉTRIQUE D"UNE DROITE LEÇON 3. DROITES ET PLANS DANS L"ESPACE
En général
1. on garde la ligne(L1)et on élimine une inconnue ou un paramètre dans les lignes suivantes en remplaçant
chaque ligne(Lk) (k?= 1)parα(L1) +β(Lk)avecβ?= 02. on garde maintenant la ligne(L2)et on élimine une nouvelle inconnue ou un nouveau paramètre entre
(L2)et les lignes suivantes.4 représentation paramétrique d"une droite
4.1 représentation paramétrique
Théorème 3.1.SoitDune droite de l"espace contenant le pointA(xA,yA,zA)et dirigée par le vecteur-→u?
abc? tout pointM(x,y,z)deDcorrespont un réélttel que ?x=xA+t×a y=yA+t×b z=zA+t×c Le système est appelé représentation paramétrique de la droiteDDémonstration.
M?D?--→AMet-→usont colineaires
?il existetréel tel que--→AM=t-→u ?il existetréel tel que? x-xAy-yAz-zA? =t? abc?remarque .Pourunedroite, il existe une infinité de représentations paramétriques puisqu"on peut choisir n"im-
porte quel point et n"importe quel vecteur directeur.remarque .Quand on travaille avec plusieurs droites, il est importantde prendre un paramètre différent pour
chaque représentation paramétrique.5 position relative de deux droites
5.1 parallélisme
Pour mettre en évidence le parallélisme de deux droites, il suffit de montrer qu"un vecteur directeur de
la première et qu"un vecteur directeur de la seconde sont colinéaires, c"est à dire que leur coordonnées sont
proportionnelles.5.2 intersection
Pour déterminer l"intersection de deux droites, il suffit derésoudre le système de trois équations dont les
inconnues sont les deux paramètres des deux droites. rappel .Deux droites sont sécantes si et seulement si leur intersection est un singleton.5.3 droites coplanaires
rappel .Deux droites sont coplanaires si et seulement si elle sont parallèles ou sécantes.Pour montrer que deux droites ne sont pas coplanaires, il suffit de montrer qu"elles ne sont ni parallèles ni
sécantes. http://pagesperso-orange.fr/calque11table des matières6. PLANS DANS L"ESPACE LEÇON 3. DROITES ET PLANS DANS L"ESPACE
6 plans dans l"espace
6.1 existence
rappel .Pour que le plan(ABC)existe, il faut et suffit que les trois points ne soient pas alignés c"est à dire que les
vecteurs--→ABet-→ACne soient pas colinéaires.6.2 vecteurs coplanaires
définition.trois vecteurs-→u,-→vet-→wsont coplanaires si et seulement il existe deux réelsαetβtels que
w=α-→u+β-→v (ou dans un autre ordre)6.3 représentation paramérique
Un pointM(x,y,z)appartient au plan(ABC)si et seulement si il existe deux réelsαetβtels queAM=α--→AB+β-→AC
on exprime que les vecteurs AM,--→ABetvcACsont coplanaires ce qui conduit à la représentation paramé- trique suivante?????x=xA+αu1+βv1 y=yA+αu2+βv2 z=zA+αu3+βv3avec--→AB=? u1u2u3? et-→AC=? v1v2v3?6.4 équation cartésienne
En éliminantαetβdans le système paramétrique, on obtient une relation de la forme ax+by+cz+d= 0avec(a,b,c)?= (0,0,0) On verra une autre méthode avec le produit scalaire.7 positions relatives
7.1 intersection de deux plans non parallèles
rappel .L"intersection de deux plans non parallèles est une droite.On peut obtenir une équation paramétrique de
celle ci en choisissant arbitrairement une inconnue comme paramètre.