PDF 2ndeChap01Activite2corrige.pdf

On montre de la même façon que le produit de deux nombres rationnels est un nombre rationnel et que le produit d'un nombre rationnel par un nombre irrationnel est un nombre irrationnel En revanche, le produit de deux nombres irrationnels n'est pas forcément irrationnel comme le montre l'exemple suivant : √2 × √2 = 2

Raisonnons par l'absurde et supposons que x1 + x2 est rationnel Il existe alors p ∈ Z,q ∈ N Pour montrer que l'affirmation est fausse, il suffit de trouver deux nombres irrationnels positifs dont la somme est rationnelle Posons x1 = 10− √

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Montrer que si (rn)n∈N est une suite de nombres rationnels telle que rn+1 n ∈ N, o`u λ est un rationnel strictement compris entre 0 et 1, alors cette suite est de Définition On définit également le produit de deux suites u et v de S comme

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Montrer que le nombre 0,ukuk+1uk+2 est rationnel Correction ▽ [005214] de CAUCHY-SCHWARZ affirme que le produit scalaire de deux vecteurs est

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Vous connaissez beaucoup de nombres rationnels : un réel x est dit rationnel Le but de ce problème est, entre autres, de montrer l'irrationalité du nombre e En utilisant la formule de dérivation d'un produit 2, et en apportant toutes les Si u et v sont deux fonctions réelles définies, dérivables et à dérivée continue sur

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Un nombre irrationnel est un nombre qui n'est pas rationnel II Fractions : 1) Somme et différence : a) Règle n°1: si a et b sont deux nombres relatifs

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Définition : un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire pour la forme a b ou − a Remarque : En particulier, pour démontrer que deux nombres en écriture égaux, il suffit de démontrer que leurs produits en croix ne sont pas égaux

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Un nombre rationnel est le quotient de deux entiers relatifs La somme Les rationnels et les irrationnels sont intimement mêlés, comme le montre le théo- Si x et y sont deux réels quelconques, la valeur absolue du produit xy est le produit

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Le recours à une décomposition en produits de facteurs premiers est possible dans des de deux nombres relatifs en écriture fractionnaire, sont exigibles seulement dans des cas Définition : Un nombre est rationnel s'il peut s'écrire sous la forme a On montre par exemple que 3 peut se calculer de la façon suivante :

Activit´e de math´ematiques (correction)

Ensembles de nombres

1 (Ir)rationalit´e et Op´erations

1. Soientx=p

qety=mndeux nombres rationnels. Alorsx+y=pn+mqqnest un nombre rationnel.

2. Soitx=p

qun nombre rationnel etyun nombre irrationnel. La sommex+yne peut pas

ˆetre un nombre rationnelx+y=m

ncar sinony=mn-x=mn-pqserait un nombre rationnel d"apr`es la question pr´ec´edente. La sommex+yest donc un nombre irrationnel.

3. La somme de deux nombres irrationnels n"est pas forc´ement un nombre irrationnel comme

le montre l"exemple suivant : Soientx=-⎷

2 qui est un nombre irrationnel ety= 1+⎷2

qui est aussi un nombre irrationnel d"apr`es la question pr´ec´edente, alorsx+y= (-⎷ 2)+ (1 +⎷

2) = 1 est un nombre rationnel.

4. On montre de la mˆeme fa¸con que le produit de deux nombres rationnels est un nombre

rationnel et que le produit d"un nombre rationnel par un nombre irrationnel est un nombre irrationnel. En revanche, le produit de deux nombres irrationnels n"est pas forc´ement irrationnel comme le montre l"exemple suivant :⎷

2×⎷2 = 2.

2 Le"nombre d"or»

1. La construction est la suivante :

OIJ K L P

2. En utilisant le th´eorˆeme de Pythagore dans le triangleKILrectangle enI, on obtient

LK=⎷

2d"o`u :OP=OL+LP=12+⎷

2=1+⎷

5 2. 3. 2=?

1 +⎷

5 2? 2 =1 + 2⎷ 5 + 5

4=3 +⎷

5 2

φ+ 1 =1 +⎷

2+ 1 =1 +⎷

5 + 2

2=3 +⎷

5 2

Donc :

2=φ+ 1

1/2 Activit´e de math´ematiques (correction)Ensembles de nombres

4. En divisant parφ(qui est non nul d"apr`es l"´egalit´e pr´ec´edente) on obtient :

φ= 1 +1

3 Irrationalit´e de

1. On ´el`eve au carr´e la relation

2 =pqce qui donne 2 =p2q2d"o`u 2×q2=p2.

2. (a)

dernier chiffre dep0123456789 dernier chiffre dep20149656941 (b)dernier chiffre deq0123456789 dernier chiffre de 2×q20288202882

3. (a) Le dernier chiffre dep2= 2×q2est donc obligatoirement 0.

(b)pse termine donc par 0 etqpeut donc se terminer par 0 ou 5.

4. La fraction

p qn"est donc pas irr´eductible carpetqsont tous deux divisibles par 5.

5. On ne peut donc pas ´ecrire

2 sous la forme d"un fractionpqirr´eductible et donc⎷2 n"est

pas un nombre rationnel. 2/2quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47