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Raisonnons par l'absurde et supposons que x1 + x2 est rationnel Il existe alors p ∈ Z,q ∈ N Pour montrer que l'affirmation est fausse, il suffit de trouver deux nombres irrationnels positifs dont la somme est rationnelle Posons x1 = 10− √

Montrer que si (rn)n∈N est une suite de nombres rationnels telle que rn+1 n ∈ N, o`u λ est un rationnel strictement compris entre 0 et 1, alors cette suite est de Définition On définit également le produit de deux suites u et v de S comme

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Vous connaissez beaucoup de nombres rationnels : un réel x est dit rationnel Le but de ce problème est, entre autres, de montrer l'irrationalité du nombre e En utilisant la formule de dérivation d'un produit 2, et en apportant toutes les Si u et v sont deux fonctions réelles définies, dérivables et à dérivée continue sur

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Un nombre irrationnel est un nombre qui n'est pas rationnel II Fractions : 1) Somme et différence : a) Règle n°1: si a et b sont deux nombres relatifs

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Définition : un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire pour la forme a b ou − a Remarque : En particulier, pour démontrer que deux nombres en écriture égaux, il suffit de démontrer que leurs produits en croix ne sont pas égaux

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Un nombre rationnel est le quotient de deux entiers relatifs La somme Les rationnels et les irrationnels sont intimement mêlés, comme le montre le théo- Si x et y sont deux réels quelconques, la valeur absolue du produit xy est le produit

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Le recours à une décomposition en produits de facteurs premiers est possible dans des de deux nombres relatifs en écriture fractionnaire, sont exigibles seulement dans des cas Définition : Un nombre est rationnel s'il peut s'écrire sous la forme a On montre par exemple que 3 peut se calculer de la façon suivante :

Chapitre 1, exercice 3

1.Vrai :la somme d'un nombre rationnel et d'un nombre irrationnel est irrationnelle.

Demonstration.Soientx1;x22Rtels quex1est rationnel etx2est irrationnel. Montrons que x

1+x2est un nombre irrationnel.

Raisonnons par l'absurde et supposons quex1+x2est rationnel. Il existe alorsp2Z;q2N tels que x

1+x2=pq

Puisque, par hypothese,x1est rationnel, il existep02Z;q02Ntels que x 1=p0q 0:

On a donc

2= (x1+x2)x1=pq

p0q

0=pq0qp0qq

0: Doncx2s'ecrit comme le quotient de deux entiers, avec l'entier au denominateur qui est non- nul (qq06= 0). C'est donc un rationnel. C'est une contradiction avec nos hypotheses (x2etait

suppose irrationnel); on a donc obtenu une absurdite.2.Faux :la somme de deux nombres irrationnels positifs est irrationnelle.

Demonstration.Pour montrer que l'armation est fausse, il sut de trouver deux nombres irrationnels positifs dont la somme est rationnelle. Posonsx1= 10p2 etx2=p2. Ce sont deux nombres irrationnels :x2est irrationnel d'apres le cours etx1= 10 + (p2) est la somme d'un rationnel et d'un irrationnel; c'est donc un nombre irrationnel d'apres la premiere question.

Ces deux nombres sont egalement positifs.

Pourtant,x1+x2= 10 doncx1+x2est un nombre rationnel.3.Vrai :la racine carree d'un nombre irrationnel positif est irrationnelle.

Demonstration.Soitx1un nombre irrationnel positif. Montrons que sa racine carree est irrationnelle.

On raisonne par l'absurde et on suppose quepx

12Q. Alors il existep2Z;q2Ntels que

px 1=pq

En elevant au carre, on obtient :

x 1=p2q 2: Doncx1s'ecrit comme un quotient d'entiers, dont le denominateur est non-nul. Doncx1est rationnel. C'est en contradiction avec nos hypotheses.1quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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