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Raisonnons par l'absurde et supposons que x1 + x2 est rationnel Il existe alors p ∈ Z,q ∈ N Pour montrer que l'affirmation est fausse, il suffit de trouver deux nombres irrationnels positifs dont la somme est rationnelle Posons x1 = 10− √

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Montrer que si (rn)n∈N est une suite de nombres rationnels telle que rn+1 n ∈ N, o`u λ est un rationnel strictement compris entre 0 et 1, alors cette suite est de Définition On définit également le produit de deux suites u et v de S comme

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Montrer que le nombre 0,ukuk+1uk+2 est rationnel Correction ▽ [005214] de CAUCHY-SCHWARZ affirme que le produit scalaire de deux vecteurs est 

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Pour multiplier deux nombres relatifs en écritures fractionnaires, on multiplie les Deux nombres relatifs sont inverses lorsque leur produit est égal à 1

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Vous connaissez beaucoup de nombres rationnels : un réel x est dit rationnel Le but de ce problème est, entre autres, de montrer l'irrationalité du nombre e En utilisant la formule de dérivation d'un produit 2, et en apportant toutes les Si u et v sont deux fonctions réelles définies, dérivables et à dérivée continue sur

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Un nombre irrationnel est un nombre qui n'est pas rationnel II Fractions : 1) Somme et différence : a) Règle n°1: si a et b sont deux nombres relatifs 

[PDF] Chapitre 3 : Les nombres rationnels - Collège Jean Monnet

Définition : un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire pour la forme a b ou − a Remarque : En particulier, pour démontrer que deux nombres en écriture égaux, il suffit de démontrer que leurs produits en croix ne sont pas égaux

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Un nombre rationnel est le quotient de deux entiers relatifs La somme Les rationnels et les irrationnels sont intimement mêlés, comme le montre le théo- Si x et y sont deux réels quelconques, la valeur absolue du produit xy est le produit

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Le recours à une décomposition en produits de facteurs premiers est possible dans des de deux nombres relatifs en écriture fractionnaire, sont exigibles seulement dans des cas Définition : Un nombre est rationnel s'il peut s'écrire sous la forme a On montre par exemple que 3 peut se calculer de la façon suivante :

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- 15 - 10 5 -27,2 - 21 15 3 2

10 371

100

NOMBRES ENTIERS ET RATIONNELS

I Nature des nombres :

1) Activité :

En maternelle, on a appris à compter des objets, et on utilisait les nombres 1 , 2 , 3 ....ces nombres sont les

premiers qui sont utilisés " naturellement » , on les nomme les nombres entiers naturels.

Depuis à l"école primaire et au collège, on a découvert d"autres nombres. Voici une liste de nombres :

-27,2 ; 10 371

100 ; 2713 ; 3

2 ; - 2115 ; p ; - 10

5 ; 4721 ; - 15 ; - 10

3 ; 37

Dans cette liste :

a) entoure en bleu les nombres entiers b) entoure en rouge les nombres entiers relatifs (certains nombres peuvent être entourés plusieurs fois) c) entoure en vert les nombres décimaux

Quels nombres reste-t-il ?

il reste 2713 ; 4721 ; - 10

3 et p

Les premiers sont des nombres en écriture fractionnaire appelés nombres rationnels

On remarque que 37 est aussi un nombre rationnel car 37 peut s"écrire sous la forme d"une fraction 37 = 37

1

Pourquoi un nombre décimal est-il aussi un rationnel ? - 27,2 est aussi un rationnel car - 27,2 = - 272

10 Il reste alors p que l"on classe dans la catégorie des nombres irrationnels.

37 4

2 0 27
13 47
21
- 10 3

0,3333333333333....=

1 3 p

Nombres entiers

naturels notés V

Nombres entiers

relatifs notés

WNombres décimaux

Nombres rationnels

notés X

Nombres irrationnels

2) définitions :

Les nombres entiers naturels sont les nombres 0 ; 1 ; 2 ; 3 ... Les nombres entiers relatifs sont les nombres entiers positifs et négatifs.

Un nombre décimal est le quotient d"un nombre entier relatif par une puissance de 10 et c"est aussi un nombre

dont la partie décimal s"écrit avec un nombre fini de chiffres non nuls Un nombre rationnel est le quotient d"un nombre entier relatif par un nombre entier relatifs non nul Un nombre irrationnel est un nombre qui n"est pas rationnel.

II Fractions :

1) Somme et différence :

a) Règle n°1: si a et b sont deux nombres relatifs quelconques et si k ¹ 0, alors : a k + b k = a+b k et a k - b k = a-b k

b) Règle n°2 : Si les fractions ne sont pas au même dénominateur, on les réduit au même dénominateur puis on

applique la règle n°1.

Exercice type 1: Ecris A = 3

21
- 5

14 sous la forme d"une fraction irréductible

A = 3´2

21´2 - 5´3

14´3 Etape n°1 : On réduit au même dénominateur

A = 6 42
- 1442 Etape n°2 : On soustrait les numérateurs A = -9 42

Etape n°3 : On simplifie la fraction A = -3

14

2) Produit :

a) Règle : Pour multiplier deux quotients, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre

eux. b) Rappel de 4 ème : le produit de deux nombres relatifs négatifs est un nombre relatif positif

Exercice type 2 : Ecris B = 21

50 ´ (- 7014 ) sous forme d"une fraction irréductible.

B = - 7´3´7´10

5´10´7´2 Etape n°1 : On met le signe du résultat et On décompose les nombres avant de calculer

Attention on ne réduit pas au même dénominateur.

B = - 7´3

5´2

Etape n°2 : On simplifie

B = - 2110

Etape n°3 : On calcule

3) Division :

a) Définition : Deux nombres sont inverses l"un de l"autre si leur produit est égal à 1 b) Propriété : Si c et d sont deux nombres relatifs non nuls quelconques, alors l"inverse de c d est d c c) Règle : Pour diviser par c d (avec c ¹ 0 et d ¹ 0) on multiplie par son inverse.

Autrement dit : a

bc d = a b ¸c d = a b ´d c avec b, c et d non nul.

Exercice type 3 : Ecris C = - 2221

40
-27 sous la forme d"une fraction irréductible.

C = - 22

21 ´ -27

40 Etape n°1 : on transforme la division en une multiplication

C = +

2´11´9´3

7´3´2´20

Etape n°2 : On s"occupe du signe puis on décompose les nombres C =

11´9

7´20

Etape n°3 : On simplifie

C = 99
140

Etape n°4 : On calcule

4) Priorités opératoires :

a) Priorités n°1: Les parenthèses indiquent les calculs à effectuer en premier. On commence les calculs par ceux qui sont dans les parenthèses les plus intérieures.

Exercice type 4 : Calcule puis écris D =7

15

´ (2

7 - ( 5

7 + 3

21 )) sous forme d"une fraction irréductible.

D =7

15 ´ (2

7 - ( 5

7 + 3

21 ))
D = 7 15

´ (2

7 - ( 5

7 + 3 ´ 1

3 ´ 7 ))

D = 7 15

´ (2

7 - ( 5

7 + 1

7 D = 7 15

´ (2

7 - 6

7 ) D = 7 15

´ -4

7

D = -4

15

b) Priorités n°2 : En l"absence de parenthèses on effectue les opérations dans l"ordre suivants :

- puissance - multiplication - addition et soustraction Exercice type 5 : Ecris E, F et G sous la forme de fractions irréductibles.

E = (2

3 )² - 3 7 F = 5

6 - 7

6 ´ 10

3 E = 4 9 - 3 7 F = 5

6 - 7018 On ne décompose pas 18 car 18 est un multiple de 6

E = 28
63
- 2763 F = 15

18 - 7018

E = 1 63

F = - 5518

G = 3 -

3 4 - 5 2 3 4 + 5 2

G = 3 -( 3

4 - 10

4 ) : ( 3

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