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Divisibilité dans Z.

Nombres premiers.

Exercice

nest un entier naturel.a=n3-netb=2n3+3n2+n1. Démontrer queaet bsont divisibles par 6.

2. Démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence que pour toutn∈ℕque

n3+5nest un multiple de 6. Puis retrouver les résultats de la première question.

Divisibilité dans Z.

Nombres premiers.

Correction :

1. a=n3-na=n(n2-1)

a=n(n-1)(n+1)Si n=0alorsa=0etaest divisible par 6

On suppose maintenant que n∈ℕ*

n-1;n;

n+1 sont trois entiers naturels consécutifs donc au moins l'un d'eux est un multiple de 2 et l'un des

trois nombres est un multiple de 3. Doncaest un multiple de 6, c'est à direaest divisible par 6. b=2n3+3n2+nb=n(2n2+3n+1)

On factorise 2n2+3n+1

2n2+3n+1=0

Δ=b2-4ac

Δ=9-8

Δ=1

n1=-3-1

4=-1n2=-3+1

4=-2 4=-1

22n2+3n+1

=2(n+1)(n+1

2)=(n+1)(2n+1)On a donc:

b=n(n+1)(2n+1) net n+1sont deux entiers naturels consécutifs donc l'un d'eux est un multiple de 2.

Par conséquentbest divisible par 2.

Sin=3pavecp∈ℕalorsbest divisible par 3.

Sin=3p+1 avecp∈ℕalors2n+1=2(3p+1)+1=6p+3=3(2p+1)alors best divisible par 3. Si n=3p+2 avecp∈ℕalorsn+1=3p+2+1=3p+3=3(p+1)alorsbest divisible par 3.

Conclusion:best divisible par 6.

2. •Pour n=003+5´0=0 et 0 est un multiple de 6.

•On suppose la propriété vraie au rangn, c'est à diren3+5nest un multiple de 6. On doit démontrer que

la propriété est vraie au rang n+1, c'est à dire que(n+1)3+5(n+1)est un multiple de 6 n3+5n est un multiple de 6 donc: il existek∈ℕtel que n3+5n=6k (n+1)3+5(n+1)=(n+1)(n+1)2+5(n+1)

Divisibilité dans Z.

Nombres premiers.

=n3+5n+3n2+3n+6

=n3+5n+3n(n+1)+6=6k+3n(n+1)+6Ornetn+1sont deux entiers naturels consécutifs donc l'un d'eux est un multiple de 2 donc

n(n+1)est un nombre pair et donc il existek'∈ℕtel que n(n+1)=2k' (n+1)3+5(n+1)=6k+6k'+6 =6(k+k'+1)aveck+k'+1entier naturel •D'après le principe de récurrence, pour toutn∈ℕque n3+5nest un multiple de 6. a=n3-na=n3+5n-6n Or, n3+5nest un multiple de 6 donc il existek∈ℕtel quen3+5n=6k a=6k-6n =6(k-n)doncaest un multiple de 6. b=2n3+3n2+nb=2(n3+5n)+3n(n-3) net n-3sont de parités différentes donc l'un des deux est un multiple de 2 donc: il existek'∈ℕtel quen(n-3)=2k' n3+5n est un multiple de 6 donc il existek∈ℕtel quen3+5n=6kb=12k+6k' b=6(2k+k')donc best un multiple de 6.quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47