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Démonstration : Comme conséquence du théorème 2, deux formes n-linéaires alternées Le déterminant d'une matrice est égal à celui de sa transposée est le déterminant de Vandermonde de la proposition précédente : les θi étant tous

Déterminant de Vandermonde, inégalité de Hadamard et application à un problème d'optimisation Théorème Soient x1, , xn ∈ C, on note V (x1, , xn) ∈ Mn(C) la matrice dont le coefficient (i, j) est xi−1 1≤i

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Matrice de Vandermonde : Mi,j = a j−1 Rappels matrices/déterminants ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a b Preuve : calcul du déterminant (patience), ou bien on résout

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3) Déterminant de la transposée d'une matrice Notons que l'appellation du déterminant de Vandermonde ne doit rien à ce Démonstration : Si Φ est alternée

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base de E et (x1, , xn) une famille de n vecteurs de E de matrice A dans Démonstration La permutation de gauche agit circulairement sur certains paquets x1, , xn ∈ , notons Vn(x1, , xn) le déterminant de Vandermonde de x1, , xn

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Vandermonde l'élément de K défini par : 1 Une premi`ere démonstration On rappelle qu'on ne change pas la valeur d'un déterminant en ajoutant `a une

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Ces trois propriétés permettent de calculer le déterminant de toute matrice Exemple 1 Soit A = [ Démonstration Soit P une matrice On retrouve ainsi que la matrice précédente (matrice de Vandermonde) est inversible si, et seulement si

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2 3 Propriétés du déterminant d'une matrice carrée Démonstration Soit σ ∈ Sp On sait qu'il existe des akzk Exercice 4 (déterminant de Vandermonde)

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Dans la partie suivante on passe aux déterminants des matrices carrés `a coefficients Exercice 1 Calcul du déterminant de Vandermonde par l' interpolation

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5 - Déterminant de Van der Monde et applications *** 0 - Déterminant 11 - Déterminant d'une matrice à coefficients dans {-1, +1} • 12 - Déterminants et

Déterminants

Luc Rozoy, Bernard Ycart

Les déterminants sont un outil indispensable de l"algèbre linéaire, que vous avez déjà rencontré en dimensions 2 et 3. Peu de prérequis pour ce chapitre, à part les notions de base sur les espaces vectoriels de dimension finie, les systèmes linéaires et le calcul matriciel. Votre objectif minimal est d"apprendre les méthodes de calcul des déterminants; comprendre en plus les raisonnements développés ici, ne peut que renforcer votre culture algébrique.

Table des matières

1 Cours 1

1.1 Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Formes alternées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Déterminant d"un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Mineurs et cofacteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5 Méthodes de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6 Interprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Entraînement 25

2.1 Vrai ou faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4 Devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.5 Corrigé du devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3 Compléments 44

3.1 Les tâtonnements de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.2 L"école japonaise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.3 Les excuses de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.4 Cauchy raconte l"histoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.5 Le dernier honnête homme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.6 La solidité des pyramides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.7 Les déterminants de Sylvester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.8 La condensation de Dodgson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

12 septembre 2016

Maths en LigneDéterminantsUJF Grenoble1 Cours

1.1 Permutations

L"ensembleSndes permutations de l"ensemble{1,...,n}, muni de la composition des applications est le premier exemple de groupe non commutatif que vous ayez ren- contré. Vous avez besoin d"en savoir un peu plus pour manipuler des déterminants. La notion importante de cette section est celle designature. Soits? Snune bijection de{1,...,n}dans lui-même. Nous la noterons s=?1 2···n s(1)s(2)···s(n)?

Par exemple pourn= 12:

s=?1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

9 5 3 7 2 12 11 10 4 6 1 8?

est la bijection qui à1associe9, à2associe5, etc. On peut se demander pourquoi imposer une notation aussi redondante, puisque les images sont données par la deuxième ligne dans l"ordre de la première. La raison est que l"on réserve une notation plus simple auxcycles. La composition des applications est notée◦, mais nous noteronssn la composée desavec elle-mêmenfois. Définition 1.Soitsune permutation deSnetiun élément de{1,...,n}. On appelle orbite deipoursl"ensemble (fini){sn(i), n?N}. Dans l"exemple ci-dessus, pour trouver l"orbite de1, on calcule l"image de1qui est

9, puis l"image de9qui est4, etc., jusqu"à retrouver1(qui est l"image de11). L"orbite

de1est donc{1,9,4,7,11}. L"orbite de2est{2,5}, celle de3est{3}(on dit que3 est unpoint fixe). Observez qu"une orbite est la même pourtous ses éléments: l"orbite de9,4,7et11est aussi{1,9,4,7,11}. Le plus petit entierktel quesk(x) =xest la longueurde l"orbite{x,s(x),s2(x),...,sk-1(x)}. Par définition, un ensemble n"est pas ordonné. Or nous aurons besoin d"un ordre pour écrire des cycles. Nous conviendrons donc d"écrire une orbite comme laliste ordonnée[x,s(x),...,sk-1(x)], oùxest le plus petit élément de l"orbite. Définition 2.On appelledécomposition en orbitesde la permutationsla séquence d"orbites disjointes des éléments de{1,...,n}pours, écrite par ordre croissant de leurs plus petits éléments. Un algorithme très simple produit la décomposition en orbites d"une permutation. Tant qu"il reste des éléments de{1,...,n}hors des orbites déjà écrites choisir le plus petit de ces éléments 1 Maths en LigneDéterminantsUJF Grenobleécrire son orbite

Fin Tant que

Dans l"exemple ci-dessus, on commencera donc par écrire l"orbite de1:[1,9,4,7,11].

Le premier élément non rangé est2. Son orbite est[2,5]. L"élément3n"a pas été rangé,

son orbite est[3]. Le plus petit élément non rangé à ce stade est6, dont l"orbite est

[6,12,8,10]. Tous les éléments ont alors été rangés, et la décomposition en orbites des

est : [1,9,4,7,11],[2,5],[3],[6,12,8,10]

Définition 3.Soits? Snune permutation et

[1,...,sk1-1(1)],...,[ih,...,skh-1(ih)] sa décomposition en orbites. On appellesignaturede la permutationset on noteε(s):

ε(s) = (-1)(k1-1)+···+(kh-1),

oùk1,...,khsont les longueurs des orbites successives dans la décomposition des. Toujours sur le même exemple, les longueurs des orbites successives sont5,2,1,4, la signature est doncε(s) = (-1)4+1+0+3= +1. Soyons honnêtes : sachant décomposer une permutation en orbites et en déduire sa signature, vous en savez assez pour calculer des déterminants, ce qui après tout est bien le but de ce chapitre. Il serait dommage de vous en tenir là, car vous perdriez le sel algébrique du groupe des permutations. Voici le résultat principal de cette section. Théorème 1.L"applicationsignature, de(Sn,◦)dans({-1,1},×)est l"unique homo- morphisme surjectif entre ces deux groupes. La démonstration comporte plusieurs étapes, qui sont autant de résultats intéres- sants. D"abord, nous allons enrichir les orbites pour donner un sens plus précis à la notion dedécomposition. Définition 4.Soitkun entier supérieur ou égal à2, eti1,...,ikkéléments tous distincts de{1,...,n}. On qualifiera decycle de longueurket on notera(i1,...,ik)la permutationσtelle que :

σ(i1) =i2, ... , σ(ik-1) =ik, σ(ik) =i1,

et pour touti /? {i1,...,ik},σ(i) =i. L"inconvénient de cette notation est que plusieurs écritures différentes peuvent dési- gner le même cycle :(1,2,3)et(2,3,1)par exemple. Comme ci-dessus, nous convenons d"écrire en premier le plus petit élément du cycle. Ceci permet d"associer de manière unique un cycle à une orbite. Observez que dans la décomposition en orbites du cycle (i1,...,ik)on trouve[i1,...,ik], etn-kpoints fixes. La signature du cycle(i1,...,ik) est :

ε((i1,...,ik)) = (-1)k-1.

2 Maths en LigneDéterminantsUJF GrenobleProposition 1.Soitsune permutation et [1,...,sk1-1(1)],...,[ih,...,skh-1(ih)] sa décomposition en orbites. Alorssest la composée des cycles déduits des orbites de longueur>2. s= (i1,...,sk?1-1(1))◦ ··· ◦(ih,...,sk?h-1(ih)), k?1,...,k?h>2. La vérification est immédiate. Observez que deux cycles commutent si les ensembles d"éléments qu"ils concernent sont disjoints : {i1,...,ik} ∩ {j1,...,jh}=∅=?(i1,...,ik)◦(j1,...,jh) = (j1,...,jh)◦(i1,...,ik) Dans une décomposition en orbites, oubliez les singletons et ne conservez que les or- bites de longueur au moins 2, que vous transformez en cycles : sikj>2, remplacez [ij,...,skj-1(ij)]par(ij,...,skj-1(ij)). Enfin, remplacez les virgules dans l"énuméra- tion des orbites, par le signe de composition : votre permutationsest une composée de cycles. s=?1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

9 5 3 7 2 12 11 10 4 6 1 8?

= (1,9,4,7,11)◦(2,5)◦(6,12,8,10) ?1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

9 2 3 7 5 6 11 8 4 10 1 12?

?1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 5 3 4 2 6 7 8 9 10 11 12?

?1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 2 3 4 5 12 7 10 9 6 11 8?

Les cycles de longueur2jouent un rôle particulier. On les appelletranspositions. Leur signature vaut-1. Afin de faciliter la lecture, pouri?=j? {1,...,n}nous noterons i,j= (i,j)la transposition deietj: i,j(i) =j , τi,j(j) =i , τi,j(k) =k ,?k?=i,j .

Proposition 2.Soitsune permutation et

[1,...,sk1-1(1)],...,[ih,...,skh-1(ih)] sa décomposition en orbites. Alorssest la composée de(k1-1)+···+(kh-1)trans- positions. Remarquez que le nombre de transpositions dans cette décomposition est exacte- ment l"exposant de(-1)dans la définition de la signature. 3

Maths en LigneDéterminantsUJF GrenobleDémonstration: Nous avons vu (proposition 1) que toute permutation s"écrit comme

une composée de cycles. Il nous suffit de vérifier qu"un cycle de longueurkest composée dek-1transpositions. Voici une manière de décomposer le cycle(i1,...,ik): (i1,...,ik) =τi1,ik◦τi1,ik-1◦ ··· ◦τi1,i2 (vérifiez-le, par récurrence surk). Toute permutation s"écrit donc comme un produit (au sens de la composition des applications) de transpositions. Une telle écriture n"a rien d"unique : l"ordre de deux cycles disjoints peut être changé, on peut toujours insérer deux fois la même permuta- tion dans le produit sans changer le résultat, etc. Le miracle est que si deux produits de transpositions donnent la même permutation, alors les nombres de permutations dans ces deux produits ont la même parité : c"est une conséquence du théorème 1. Le résultat suivant est l"étape clé dans sa démonstration. Lemme 1.Soitsune permutation etτune transposition. Alors :

ε(τ◦s) =-ε(s).

Démonstration: L"idée de la démonstration est de montrer que la composée par une transposition agit sur la décomposition en orbites, soit en cassant une orbite en deux, soit en regroupant deux orbites. Dans les deux cas l"exposant de la signature est soit augmenté, soit diminué de1, et la signature est changée en son opposée. Considérons la décomposition en orbites des. Supposons queτtranspose les deux éléments distinctsietjet examinons la décomposition en orbites deτ◦s. De deux choses l"une : soitietjappartiennent à la même orbite des, soitietjappartiennent

à deux orbites distinctes.

•Siietjappartiennent à la même orbite des. Quitte à réordonner les éléments, nous pouvons supposer sans perte de généralité que l"orbite est[1,...,k], et que les deux éléments à transposer sont1etjavec1< j6k. Pour la permutation

τ◦s, l"image d"un entierhest :

? s(h)sihest différent dej-1etk, ?1sih=j-1, ? jsih=k. L"orbite[1,...,k]est cassée en[1,...,j-1]et[j,...,k]. Le termek-1dans l"exposant de la signature est remplacé par(j-2) + (k-j). L"exposant de la signature est diminué de1, et celle-ci est changée en son opposée. •Siietjappartiennent à deux orbites distinctes des. Quitte à réordonner les éléments, nous pouvons supposer sans perte de généralité que les deux orbites sont[1,...,j-1]et[j,...,k], avec1< j6k6net que les deux éléments à transposer sont1etj. Pour la permutationτ◦s, l"image d"un entierhest : ? s(h)sihest différent dej-1etk ? jsih=j-1 4

Maths en LigneDéterminantsUJF Grenoble?1sih=k

Les deux orbites[1,...,j-1]et[j,...,k]sont regroupées en une seule :[1,...,k]. Les deux termesj-2etk-jdans l"exposant de la signature sont remplacés par le termek-1. L"exposant de la signature est augmenté de1, et celle-ci est encore changée en son opposée. Nous avons maintenant tous les outils pour démontrer le théorème 1. Démonstration: Nous commençons par démontrer que la signature est un homomor- phisme de groupes, de(Sn,◦)dans({-1,1},×): ?s,s?? Sn, ε(s◦s?) =ε(s)×ε(s?). Soientsets?deux transpositions quelconques. D"après la proposition 2,sest le produit de(k1-1) +···+ (kh-1)transpositions, oùk1,...,khsont les longueurs des orbites des. Or d"après le lemme 1, la composée d"une transposition par une permutation quelconque mutiplie sa signature par(-1). La composée des?par(k1-1)+···+(kh-1)

transpositions successives multiplie la signature par(-1)(k1-1)+···+(kh-1)=ε(s), d"où le

résultat. Pour terminer la démonstration du théorème 1, nous devons démontrer l"unicité. Soitsune permutation quelconque : multiplions la transpositionτ1,2à droite pars-1 et à gauche pars: on obtient la transpositionτs(1),s(2). N"importe quelle transposition se déduit donc deτ1,2par une opération de ce type (on dit que les transpositions sont toutesconjuguées). Considérons maintenant un homomorphisme de groupe?de(Sn,◦) dans({-1,1},×). Comme?est un homomorphisme de groupes, ?(τs(1),s(2)) =?(s◦τ1,2◦s-1) =?(s)?(τ1,2)(?(s))-1=?(τ1,2). Toutes les transpositions, puisqu"elles sont conjuguées, doivent avoir la même image par ?. Supposons que cette image commune soit1. Dans la mesure où toute permutation s"écrit commme un produit de transpositions (proposition 2), on obtientφ(s) = 1 pour toute permutations. Dans ce cas, l"homomorphismeφest constant et donc non surjectif. Si?est supposé surjectif, alors nécessairement l"image de toute transposition doit valoir-1. Donc?coïncide avecεsur toutes les transpositions. Mais puisque toute permutation est produit de transpositions et que?etεsont tous les deux des homorphismes de groupes, ?s? Sn, ?(s) =ε(s).

1.2 Formes alternées

Le corps de nombres de référence seraR, mais tout ce qui suit vaut aussi pour le corps des complexesC. SoitEun espace vectoriel de dimensionnsurR. 5

Maths en LigneDéterminantsUJF GrenobleDéfinition 5.On appelleformen-linéaire alternéetoute applicationfdeEndansR

telle que : •festn-linéaire :?i= 1,...,n,?v1,...,vi-1,vi+1,...,vn?El"application par- tielle qui àv?Eassocief(v1,...,vi-1,v,vi+1,...,vn)est linéaire : ?u,v?E ,?λ,μ?R, f(v1,...,vi-1,λu+μv,vi+1,...,vn) =λf(v1,...,vi-1,u,vi+1,...,vn) +μf(v1,...,vi-1,v,vi+1,...,vn) •fest alternée :?s? Sn,?v1,...,vn?E,?i?=j? {1,...,n}: f(v1,...,vj,...,vi,...,vn) =-f(v1,...,vi,...,vj,...,vn). Une forme linéaire associe donc un réel à unn-uplet de vecteurs. Si on remplace un desnvecteurs par son produit par un réel, le résultat est multiplié par ce même réel. Si on remplace un vecteur par une somme de deux vecteurs, le résultat est la somme des deux résultats obtenus avec chacun des vecteurs (formen-linéaire). De plus si on échange deux desnvecteurs, le résultat est opposé (forme alternée). Nous aurions aussi bien pu demander que l"image d"unn-uplet de vecteurs dans lequel deux d"entre eux sont égaux, soit nulle. Proposition 3.Soitfune formen-linéaire. Alorsfest une forme alternée si et seulement si, pour toutn-uplet de vecteursv1,...,vnet pour touti?=j? {1,...,n}, v i=vj=?f(v1,...,vn) = 0. Démonstration: Supposons d"abord quefsoit une forme alternée : f(v1,...,vi,...,vj,...,vn) =-f(v1,...,vj,...,vi,...,vn). Sivi=vj, le résultat doit être le même : il ne peut être que nul. Réciproquement, sifest une formen-linéaire : f(v1,...,vi+vj,...,vi+vj,...,vn) =f(v1,...,vi,...,vi,...,vn) +f(v1,...,vi,...,vj,...,vn) +f(v1,...,vj,...,vi,...,vn) +f(v1,...,vj,...,vj,...,vn) Si l"image d"unn-uplet dans lequel deux des vecteurs sont égaux est nulle, alors la somme ci-dessus est nulle, et les deux termes dans lesquelsvietvjsont répétés sont

également nuls. Il vient donc :

f(v1,...,vi,...,vj,...,vn) =-f(v1,...,vj,...,vi,...,vn). Toute formen-linéaire alternée est explicitement déterminée par sa valeur sur une base. 6

Maths en LigneDéterminantsUJF GrenobleThéorème 2.Soit(e1,...,en)une base deE. Soit(v1,...,vn)unn-uplet de vec-

teurs. Pour toutj= 1,...,n, on note(ai,j)i=1,...,nles coordonnées devjdans la base (e1,...,en): ?j= 1,...,n , vj=n? i=1a i,jei.

Alors :

f(v1,...,vn) =f(e1,...,en)( s?Snε(s)n j=1a s(j),j) oùε(s)désigne lasignaturede la permutations. Démonstration: Appliquons lan-linéarité à : f(v1,...,vn) =f? n? i=1a i,1ei,...,n i=1a i,nei? On obtient une somme de facteurs dont chacun est calculé en choisissant l"un des termes de la somme pour chacune des coordonnées. Un tel terme est défini par une application de{1,...,n}dans lui-même : f(v1,...,vn) =? ??{1,...,n}{1,...,n}( (n? j=1a ?(j),j) f(e?(1),...,e?(n)). Mais d"après la proposition 3, parmi les termesf(e?(1),...,e?(n))tous ceux qui com- portent deux fois le même vecteur sont nuls. Seuls peuvent être non nuls les termes correspondant à une application?de{1,...,n}dans lui-mêmeinjective. Une telle application est nécessairement bijective : c"est unepermutation. f(v1,...,vn) =? s?Sn( (n? j=1a s(j),j) f(es(1),...,es(n)). Or toute permutation est un produit de transpositions. Chaque transposition des coor- données change le signe, donc si une permutationsest le produit dektranspositions : f(es(1),...,es(n)) = (-1)kf(e1,...,en).

Donc d"après la proposition 2 :

f(es(1),...,es(n)) =ε(s)f(e1,...,en). Le théorème 2 montre qu"une formen-linéaire alternée est déterminée de façon unique par sa valeur sur une base deE. 7 Maths en LigneDéterminantsUJF GrenobleDéfinition 6.On appelle :

1.déterminant dans la baseBl"unique forme linéaire alternéeftelle quef(B) = 1;

on la notedetB.

2.déterminant d"une famille(v1,...,vn)denvecteurs deRnson déterminant dans

la base canonique deRn;

3.déterminant d"une matrice carréeA? Mn×n(R), le déterminant de la famille

de ses vecteurs colonnes dans la base canonique deRn. Voici comment s"effectuent les changements de base.

Proposition 4.SoientBetB?deux bases deE.

det B?=? det

B?(B)?

det B Démonstration: Comme conséquence du théorème 2, deux formesn-linéaires alternées sont toujours proportionnelles. Il existe donc une constanteλtelle quedetB?=λdetB. En prenant l"image pardetBetdetB?de la baseB, on trouveλ= detB?(B), puisque det

B(B) = 1par définition.

La plupart des déterminants que vous aurez à calculer seront des déterminants d"une famille de vecteurs deRnou d"une matrice. On les note entre deux barres droites : |v1,...,vn|ou|A| SoitA= (ai,j)i,j=1,...,nune matrice carrée. Le théorème 2 fournit une expression expli- cite de son déterminant : |A|=? s?Snε(s)n j=1a s(j),j.(1) Commencez par vérifier que cette formule coïncide bien avec celles que vous connaissez en dimensions2et3.?????x 1x2 y 1y2? ????=x1y2-x2y1. ??????x 1x2x3 y 1y2y3 z

1z2z3?

Larègle de Sarrusest un moyen mnémotechnique d"appliquer la formule en dimension

3 (et en dimension 3 seulement). On réécrit les deux premières lignes du déterminant

en dessous de celui-ci, puis on effectue tous les produits en diagonale. On affecte du signe+les diagonales descendantes, du signe-les diagonales montantes, et on ajoute le tout (figure 1). Par exemple : ???????1 2 3 2-1 1

3-2 2?

??????= +(-2) + (-12) + (+6)-(-9)-(-2)-(+8) =-5 8

Maths en LigneDéterminantsUJF Grenoblexxx123

xxx123 yyy123 zzz123 yyy123+ -z 12yx3 x 12zy3 y 12xz3 x 12yz3 y 12zx3 zquotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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Déterminants

Luc Rozoy, Bernard Ycart

Table des matières

1 Cours 1

1.1 Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Formes alternées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Déterminant d"un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Mineurs et cofacteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5 Méthodes de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6 Interprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Entraînement 25

2.1 Vrai ou faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4 Devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.5 Corrigé du devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3 Compléments 44

3.1 Les tâtonnements de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.2 L"école japonaise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.3 Les excuses de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.4 Cauchy raconte l"histoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.5 Le dernier honnête homme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.6 La solidité des pyramides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.7 Les déterminants de Sylvester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.8 La condensation de Dodgson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

12 septembre 2016

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1.1 Permutations

Par exemple pourn= 12:

9 5 3 7 2 12 11 10 4 6 1 8?

9, puis l"image de9qui est4, etc., jusqu"à retrouver1(qui est l"image de11). L"orbite

Fin Tant que

Définition 3.Soits? Snune permutation et

ε(s) = (-1)(k1-1)+···+(kh-1),

σ(i1) =i2, ... , σ(ik-1) =ik, σ(ik) =i1,

ε((i1,...,ik)) = (-1)k-1.

9 5 3 7 2 12 11 10 4 6 1 8?

9 2 3 7 5 6 11 8 4 10 1 12?

1 5 3 4 2 6 7 8 9 10 11 12?

1 2 3 4 5 12 7 10 9 6 11 8?

Proposition 2.Soitsune permutation et

ε(τ◦s) =-ε(s).

à deux orbites distinctes.

τ◦s, l"image d"un entierhest :

Maths en LigneDéterminantsUJF Grenoble?1sih=k

1.2 Formes alternées

également nuls. Il vient donc :

Alors :

Donc d"après la proposition 2 :

1.déterminant dans la baseBl"unique forme linéaire alternéeftelle quef(B) = 1;

2.déterminant d"une famille(v1,...,vn)denvecteurs deRnson déterminant dans

3.déterminant d"une matrice carréeA? Mn×n(R), le déterminant de la famille

Proposition 4.SoientBetB?deux bases deE.

B?(B)?

B(B) = 1par définition.

1z2z3?

3 (et en dimension 3 seulement). On réécrit les deux premières lignes du déterminant

3-2 2?

Maths en LigneDéterminantsUJF Grenoblexxx123