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Démonstration : Comme conséquence du théorème 2, deux formes n-linéaires alternées Le déterminant d'une matrice est égal à celui de sa transposée est le déterminant de Vandermonde de la proposition précédente : les θi étant tous

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Déterminant de Vandermonde, inégalité de Hadamard et application à un problème d'optimisation Théorème Soient x1, , xn ∈ C, on note V (x1, , xn) ∈ Mn(C) la matrice dont le coefficient (i, j) est xi−1 1≤i

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Matrice de Vandermonde : Mi,j = a j−1 Rappels matrices/déterminants ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a b Preuve : calcul du déterminant (patience), ou bien on résout

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3) Déterminant de la transposée d'une matrice Notons que l'appellation du déterminant de Vandermonde ne doit rien à ce Démonstration : Si Φ est alternée 

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base de E et (x1, , xn) une famille de n vecteurs de E de matrice A dans Démonstration La permutation de gauche agit circulairement sur certains paquets x1, , xn ∈ , notons Vn(x1, , xn) le déterminant de Vandermonde de x1, , xn

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Vandermonde l'élément de K défini par : 1 Une premi`ere démonstration On rappelle qu'on ne change pas la valeur d'un déterminant en ajoutant `a une 

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Ces trois propriétés permettent de calculer le déterminant de toute matrice Exemple 1 Soit A = [ Démonstration Soit P une matrice On retrouve ainsi que la matrice précédente (matrice de Vandermonde) est inversible si, et seulement si 

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2 3 Propriétés du déterminant d'une matrice carrée Démonstration Soit σ ∈ Sp On sait qu'il existe des akzk Exercice 4 (déterminant de Vandermonde)

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Dans la partie suivante on passe aux déterminants des matrices carrés `a coefficients Exercice 1 Calcul du déterminant de Vandermonde par l' interpolation

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Déterminant de Vandermonde, inégalité de Hadamard et application à un problème d"optimisation Théorème.Soientx1,..,xn?C, on noteV(x1,..,xn)?Mn(C)la matrice dont le coefficient(i,j)estxi-1j, et on notev(x1,..,xn)son determinant. Alors v(x1,..,xn) =? Démonstration.Sans perte de généralité, on suppose les(xi)distincts. On procède par récurrence surn; c"est vrai pourn= 1, et si c"est vrai au rangn-1, on considère le polynômev(x1,..,xn-1,X): par un développement du déterminant selon la dernière ligne, on voit que c"est un polynôme de degréN-1par hypothèse de récurrence. Son coefficient dominant estv(x1,..,xn-1). De plus, il s"annule en les(xi)i=1..n-1, d"où v(x1,..,xn) =v(x1,..,xn-1)n-1? i=1(xn-xi)

D"où le résultat.Théorème.SoitA?Mn(C), on note(vi)i=1..nses colonnes, alors on a l"inégalité de

Hadamard :

i=1?vi?2 Avec égalité si et seulement si les(vi)sont deux à deux orthogonales. Démonstration.On utilise la décompositionQ,RdeA: on peut supposerAinversible et on applique le procédé de Gram-Schimdt à la famille(v1,..,vn), pour obtenir une famille de vecteur orthogonormaux(w1,..,wn).

On écritvj=?j

k=1wkRk,j, oùR?T+n(C), et on noteQla matrice orthogonale de colonnes(wj). On a alorsA=QR, et |det(A)|=|det(R)| n? i=1|Ri,i| ij=1R2j,i=?vi?2, avec égalité pour toutisi et seulement siRest diagonale, donc lesvisont orthogonales.Corollaire.SoitDle disque unité fermé, le maximum de f:?Dn→R (z1,..,zn)?→? vautnn/2et est atteint pour les polygônes réguliers exactement. 1

Démonstration.

f(z1,..,zn) =|detV(z1,..,zn)| n? i=1?1 +|zi|2+..+|zi|2(n-1)avec égalité ssi les((zj i)j)isont orthogonaux n? i=1⎷navec égalité ssi?i,|zi|= 1 =nn/2

Notons enfin que

??????1 z i z2i... z n-1i? ??????et? ??????1 z j z2j... z n-1j? ??????sont orthogonaux si et seulement sizi¯zj?Un.2quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50