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Le determinant de Vandermonde

Soientnun entier superieur ou egal a 2 eta1;:::;annelements d'un corpsK. On appelle determinant de

Vandermondel'element deKdeni par :

V(a1;:::;an) =

1a1a21::: an11

1a2a22::: an12............

1ana2n::: an1n

1 Une premiere demonstration

1.1 Relation de recurrence

On rappelle qu'on ne change pas la valeur d'un determinant en ajoutant a une ligne (resp. une colonne) une

combinaison lineaire des autres lignes (resp. colonnes). NotonsL1;:::;Lnles lignes du determinant ci-dessus.

Pour toutk2J2;nK, eectuons l'operation suivante :Lk LkL1. On a alors :

V(a1;:::;an) =

1a1a21::: an11

0a2a1a22a21::: an12an11............

0ana1a2na21::: an1nan11

Eectuons un developpement suivant la premiere colonne, puis mettons en facteuraka1sur chaque ligne (k2J2;nK) :

V(a1;:::;an) =Y

26k6n(aka1)

1a2+a1a22+a1a2+a21::: an22+a1an32++an21

1a3+a1a23+a1a3+a21::: an23+a1an33++an21............

1an+a1a2n+a1an+a21::: an2n+a1an3n++an21

En eectuantsuccessivementles operationsCk Ckk1P

i=1ai1Cipourk2J2;n1K, on obtient :

V(a1;:::;an) =Y

26k6n(aka1)

1a2a22::: an22

1a3a23::: an23............

1ana2n::: an2n

c'est-a-dire

V(a1;:::;an) =Y

26k6n(aka1)V(a2;:::;an):

1

Le determinant de Vandermonde

1.2 Demonstration par recurrence

Pournentier superieur ou egal a 2, on noteP(n) la propriete :V(a1;:::;an) =Q

16i

Pourn= 2 : soienta1;a22K.V(a1;a2) =

1a1 1a2 = (a2a1) doncP(2) est vraie. Soitn2N,n>2. SupposonsP(n) vraie. Soienta1:::an+12K.

V(a1;:::;an+1) =Y

26k6n+1(aka1)V(a2;:::;an+1) (relation de recurrence)

Y

26k6n+1(aka1)Y

26i Y

16i doncP(n+ 1) est vraie. D'apres le principe de recurrence, on en deduit queP(n) est vraie pour toutn>2.

2 Une deuxieme demonstration

2.1 Relation de recurrence

Soientn2N,n>2,a1;:::;an2K. On a :

V(a1;:::;an1;X) =

1a1a21::: an11............

1an1a2n1::: an1n1

1X X2::: Xn1

V(a1;:::;an1;X) est un polyn^ome de degre inferieur ou egal an1 (il sut pour cela de developper le determinant suivant la derniere ligne). Soitk2J1;n1K.V(a1;:::;an1;ak) = 0 car c'est un determinant ayant deux lignes egales.a1;:::;an1sont donc des racines du polyn^omeV(a1;:::;an1;X). compte-tenu du degre de ce polyn^ome, il existe donc2Ktel queV(a1;:::;an1;X) =n1Q k=1(Xak). Le coecient de X n1est. Par ailleurs, en developpantV(a1;:::;an1;X) suivant la derniere ligne, le coecient deXn1est

V(a1;:::;an1) donc=V(a1;:::;an1) et on a :

V(a1;:::;an1;an) =V(a1;:::;an1)n1Y

k=1(anak):

2.2 Demonstration par recurrence

Pournentier superieur ou egal a 2, on noteP(n) la propriete :V(a1;:::;an) =Q

16i

Pourn= 2 : soienta1;a22K.V(a1;a2) =

1a1 1a2 = (a2a1) doncP(2) est vraie. Soitn2N,n>2. SupposonsP(n) vraie. Soienta1:::an+12K.

V(a1;:::;an+1) =Y

16k6n(an+1ak)V(a1;:::;an) (relation de recurrence)

Y

16k6n(an+1ak)Y

16i Y

16i doncP(n+ 1) est vraie.

D'apres le principe de recurrence, on en deduit queP(n) est vraie pour toutn>2.S. Duchet-http://epsilon.2000.free.fr2/2

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