[PDF] Intégrale simple - Christophe Caignaert - Free PDF Chap-05-Integrale-simple.pdf

Figure 1 – L'intégrale simple d'une fonction positive est l'aire hachurée Démonstration : Ces théorèmes se montrent facilement en prenant F et G des primitives de f et g et dérivée f nulle sur l'intervalle, et donc, f est nulle sur l' intervalle

Théorème 2 2 et définition 2 1 : intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment Théorème 2 3 Démonstration : • Soit : a = a0 < pm([a,b],), positive, f est minorée par la fonction nulle, en escaliers sur [a,b], alors par définition

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A) Positivité Soit f continue par morceaux sur [ ] ba, , avec ba ≤ Si 0 ≥ f sur [ ] ba, , alors 0 ≥ ∫b a f Démonstration : La fonction nulle appartient à )(f −

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8 nov 2011 · Alors f est intégrable sur [a, b] et son intégrale est nulle Démonstration : La fonction g−f est non nulle sur un ensemble fini de points de [a,

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il est parfois intéressant de prendre pour fonction u la primitive de u nulle en a ou en b Existe-t-il une démonstration simple de ce résultat avec les hypoth`eses

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Plus généralement, en adaptant la démonstration précédente, on obtient Théorème 5 une fonction continue, positive et d'intégrale nulle, est nulle

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Démonstration : Si la fonction n'est pas nulle en x0 , alors il existe un intervalle ouvert ou la fonction sera au dessus d'un ǫ>0 Et on montre que l'intégrale est

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Propriétés élémentaires de l'intégrale de Riemann Démonstration du théorème nulle est en fait une fonction constante, ce qui est connu □ Corollaire

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exemple, la fonction nulle sur ] − 1,0[∪]0,1[ admet comme primitives les fonctions La démonstration de cette derni`ere propriété repose sur la continuité uni-

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Définition-théorème (Intégrale d'une fonction en escalier) Soient f : [a, b] −→ Démonstration Pour toute subdivision σ = (x0, , xn) de [a, b] adaptée à f , posons : Iσ = (v) Si f et g sont égales sauf en un nombre fini de points, g − f est nulle

Intégrale sur un segment [a;b]5-1Sommaire

1. Intégrale defcontinue1

1.1. Intégrale defcontinue par morceaux. . 1

1.2. Interprétation géométrique

. . . . . . . . 1

1.3. Sommes de Riemann

. . . . . . . . . . . . 2

1.4. Propriétés

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5. Inégalités

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Dérivation et Intégration5

2.1. Changement de variables

. . . . . . . . . 52.2. Inégalité des accroissements finis. . . . 6

2.3. Formules de Taylor

. . . . . . . . . . . . . 6

2.4. Intégration et étude locale

. . . . . . . . 7

3. Recherche de primitives7

3.1. Fraction rationnelle enx(ou ent...). . . 7

3.2. Fractions rationnelles diverses

. . . . . . 7

3.3. Polynômeexponentielle. . . . . . . . . 8

3.4. Primitives usuelles

. . . . . . . . . . . . . 81. Intégration d"une fonction continue sur [a;b]

1.1. Intégrale d"une fonction continue par morceauxThéorème :(de Darboux)

Toute application continue sur un intervalle admet une primitive de classeC1sur cet intervalle.Ce théorème est admis.

Définition :fcontinue sur[a;b], à valeur dans(ou). F une primitive def, on appelleintégrale defsur[a;b]:Z b a f(t)dt= F(b)F(a)Il n"est pas nécessaire d"avoira < b, et on a immédiatement :Z a b f(t)dt=Z b a f(t)dt

1.2. Interprétation géométrique

L"intégrale simple sur [a;b] defest l"airealgébriqueentre le graphe defet l"axe des abscisses. Quand la f onctionest positiv e,comme sur la figure 1 , page suivante, l"aire algébrique se confond avec l"aire géométrique, c"est à dire l"aire hachurée. Quand la f onctionest de signe v ariable,comme sur la figure 2 , page suivante, l"aire algébrique est

la différence des aires géométriques au dessus et en dessous de l"axe des abscisses, c"est à dire des

aires hachurées.Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

5-2Intégrale sur un segment [a;b]y

x a b y=f(x) 0

1Figure1 -L"intégrale simple d"une fonction positive est l"aire hachuréey

x a by=f(x) 0

1Figure2 -L"intégrale est la différence des aires hachurées en bleu et vert1.3. Calcul approché d"intégrales et sommes de Riemann

On va faire un calcul approché de la valeur d"une intégrale defsur[a;b]en divisant l"intervalle[a;b]

ennparties égales. Les bornes de ces parties sont donca+kban pourk2f0;1;:::; ng.

Surchacundecesintervallesdelargeur

ban a+(k1)ban ; a+kban ,définispourk2f1;2;:::; ng,

on approxime la fonction par la valeur à une de ses deux bornes. Ce qui donne :Théorème :fcontinue sur[a;b]

lim n!1ban n X k=1f a+kban = lim n!1ban n1X k=0f a+kban =Z b a

f(t)dtCours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

Intégrale sur un segment [a;b]5-3Si de plusfest monotone, une figure montre facilement que l"une des deux sommes est un majorant,

l"autre un minorant de l"intégrale. Enfin, quand [a;b]=[0;1], on obtient des sommes particulières appelées sommes de Riemann :Théorème :fcontinue sur[0;1], alors : limn!11n n X k=1f kn = lim n!11n n1X k=0f kn =Z 1 0 f(t)dtExemple :Cherchons limn!1n P k=1nn 2+k2

On écrit :

nP k=1nn

2+k2=1n

n P k=111 + kn

2et on reconnait une somme de Riemann pour la fonctionf

définie parf(t)=11 +t2sur[0;1]:On a bien une fonction continue sur[0;1]:

La somme converge donc vers

Z 1

011 +t2dt=4

1.4. Propriétés

a/ LinéaritéThéorème :f ;g:[a;b]!, intégrables sur[a;b],2, alors Z b a f(t)dt=Z b a f(t)dt Z b a (f+g)(t)dt=Z b a f(t)dt+Z b a g(t)dtb/ Conjugaison Théorème :f:[a;b]!, intégrable sur[a;b], alors Z b af (t)dt=Z b a f(t)dtc/ Relation de Chasles Théorème :f:[a;b][[a;c][[c;b]!, intégrable, alorsZb a f(t)dt=Z c a f(t)dt+Z b c

f(t)dtDémonstration :Ces théorèmes se montrent facilement en prenant F et G des primitives defetget

en remarquant queF est une primitive def.Exemple :CalculonsZ 1

0dtt+ iqui est bien l"intégrale d"une fonction continue sur[0;1]:

Attention, le logarithme n"est défini que sur+;ceci nous oblige à séparer la partie réelle et la partie

imaginaire.Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

5-4Intégrale sur un segment [a;b]Z

0dtt+ i=Z

1 0tit

2+ 1dt=Z

1 0tt

2+ 1dtiZ

1 01t

2+ 1dt

12 lnt2+ 11 0 i[arctan(t)]10=12 ln(2)i4

1.5. Inégalités

a/ CroissanceThéorème :f:[a;b]!, intégrable sur[a;b], positive sur[a;b],a < b, alors :Z b a

f(t)dt>0Démonstration :Sur chaque[ai1;ai];Fiest croissante car de dérivée positive, d"où le résultat.b/ Théorème de l"intégrale nulle

Théorème :f:[a;b]!:8

>>>><>>>>:fcontinuesur[a;b];Zb a jf(t)jdt= 09

>>>>=>>>>;) 8t2[a;b]; f(t)= 0Démonstration :F, une primitive dejfj, est croissante vérifiant F(b)= F(a), donc F est constante, de

dérivéejfjnulle sur l"intervalle, et donc,fest nulle sur l"intervalle.c/ Majoration en valeur absolue

Théorème :a < b,

f:[a;b]!, intégrable sur[a;b], alorsjfjest intégrable sur[a;b], et :Z b a f(t)dt 6Z b a

jf(t)jdtDémonstration :On définitf+(t)= max(f(t);0)etf(t)= max(f(t);0), deux fonctions positives,

on af(t)=f+(t)f(t)etjf(t)j=f+(t)+f(t)Zb a f(t)dt=Z b a f+(t)dtZ b a f(t)dtetZ b a jf(t)jdt=Z b a f+(t)dt+Z b a f(t)dt, ce qui assure le résultat car ces deux intégrales sont positives.d/ Majoration en module

Théorème :a < b,

f:[a;b]!, intégrable sur[a;b], alorsjfjest intégrable sur[a;b], et :Z b a f(t)dt 6Z b a

jf(t)jdtDémonstration :Admis.Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

Intégrale sur un segment [a;b]5-5e/ Première inégalité de la moyenne

Théorème :a < b

f:[a;b]!, intégrable sur[a;b], alors : Z b a f(t)dt

6(ba)sup

t2[a;b]jf(t)jDémonstration : Z b a f(t)dt 6Z b a jf(t)jdt6Z b a sup t2[a;b]jf(t)jdt=(ba)sup t2[a;b]jf(t)jf/ Inégalité de Cauchy-Schwarz Théorème :a < b,f ;g:[a;b]!, intégrables sur[a;b], alors : Z b a f(t)g(t)dt 6sZ b a f2(t)dtsZ b a g2(t)dtDémonstration : Zb a (f(t)+g(t))2dt=2Zb a f2(t)dt+ 2Z b a f(t)g(t)dt+Z b a g2(t)dt>0 pour tout, d"où 4 Zb a f(t)g(t)dt! 2 Z b a f2(t)dtZ b a g2(t)dt60 qui permet de conclure.2. Dérivation et Intégration

2.1. Changement de variablesThéorème :fcontinue sur[a;b],'de classeC1sur[;], avec'([;])[a;b], alorsZ

f('(t))'0(t)dt=Z '()f(u)duLe changement de variable est doncu='(t)dont on vérifiera qu"il est bien de classeC1sur l"intervalle de variation det. Démonstration :Si F est une primitive def, alors F'est une primitive de(f')'0, d"oùZ f('(t))'0(t)dt= F'()F'()= F('())F('())=Z '()f(u)duExemple :CalculonsZ =2

011 + costdtqui est bien l"intégrale d"une fonction continue sur

0;2

Comme on le verra dans la suite, on poseu= tant2

ce qui donne cost=1u21 +u2et dt=2 du1 +u2;on n"oublie pas de changer les bornes, et on obtient Z =2

011 + costdt=Z

1 011 +

1u21 +u2

2 du1 +u2=Z

1 0 du= 1:

Les calculs ne s"arrangeront pas toujours aussi bien!Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

5-6Intégrale sur un segment [a;b]2.2. Inégalité des accroissements finis

Théorème :f:[a;b]!, de classeC1sur[a;b];a < betktel que sup t2[a;b]jf0(t)j6k, alors : j

f(b)f(a)j6k(ba)Démonstration :Appliquer l"inégalité de la moyenne àf0.2.3. Formules de Taylor

Les formules de Taylor sont toujours de la forme : f(x) =f(a) +(xa)f0(a) +(xa)22! f00(a) ++(xa)nn!f(n)(a) + Rn(x) Le problème est alors de déterminer une valeur de R n(x), un majorant dejRn(x)jou un ordre de grandeur d"un tel majorant. a/ Formule de Taylor avec reste intégralThéorème :Sifest de classeCn+1sur l"intervalle[a;x] f(x) =f(a) +(xa)f0(a) +(xa)22! f00(a) ++(xa)nn!f(n)(a) +Z x a(xt)nn!f(n+1)(t) dtDémonstration :Pourn= 0,Z x a f0(t)dt=f(x)f(a)permet de conclure. On amorce donc une

récurrence. On admet le résultat au rangn, une simple intégration par parties sur le reste donne :Zx

a(xt)nn!f(n+1)(t) dt=" (xt)n+1( n+ 1)!f(n+1)(t)# x a +Rx a( xt)n+1( n+ 1)!f(n+2)(t) dt

qui fournit immédiatement le résultat au rangn+ 1.Cette dernière formule de Taylor permet d"obtenir des majorations de :

f(x) f(0) +xf0(0) +x22! f00(0) ++xnn!f(n)(0)! en majorant le plus souventf(n+1)(t). b/ Formule de Taylor-YoungThéorème :Sifestnfois dérivable au voisinage dea, f(x) =f(a) +(xa)f0(a) +(xa)22! f00(a) ++(xa)nn!f(n)(a) + o((xa)n) avec lim x!ao( (xa)n)(

xa)n= 0Démonstration :On le montre en supposant quefest de classeCn+1au voisinage dea. L"inégalité de

Taylor-Lagrange donne, en appelant M un majorant def(n+1)(t)sur un intervalle, voisinage dea,f(x)0BBBB@f(a) +Pnk=1(xa)kk!f(k)(a)1CCCCA

6jxajnjxajM(

n+ 1)!

Or lim

x!aj xajM(

n+ 1)!= 0 assure le résultat.Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

Intégrale sur un segment [a;b]5-72.4. Intégration et étude locale

Théorème :f ;g: I!, intégrables sur I,a2I,gde signe constant à gauche et à droite dea,

alors f (x)=ao(g(x)))Z x a f(t)dt=ao Zx a g(t)dt! f (x)ag(x))Z x a f(t)dtaZ x a g(t)dt3. Recherche de primitives Les méthodes générales ne sont pas toujours les meilleures...

Regardons par exempleZ8t7t

8+ 1dt!... Si la technique de terminale fonctionne, il faut l"uti-

liser...

3.1. Fraction rationnelle enx(ou ent...)

On décompose la fraction rationnelle selon les indications de l"énoncé : les termes en

1xa, s"intègrent en lnjxaj

les termes en 1( xa)p, s"intègrent en11p1( xa)p1 les termes en ax+bx

2+px+q, avec<0, s"intègrent en l"écrivant :a2

(2x+p)x

2+px+q+

ba2 px

2+px+q.

On obtient :

un lnx2+px+qpour le terme :a2 (2x+p)x

2+px+qde la formeu0u

et un arctan pour le terme : ba2 px

2+px+q.

3.2. Fractions rationnelles diverses

Le but du changement de variable donné est à chaque fois d"obtenir une fraction rationnelle classique.

F ractionr ationnelleen ex, chx, shx

Poseru= ex

F ractionr ationnelleen xetpax+b

Poseru=pax+b

F ractionr ationnelleen sin xet cosx

on regarde si l"élément différentielf(x) dxest invariant quand on change xenx, poser alors :u= cosx xenx, poser alors :u= sinx

xen+x, poser alors :u= tanxCours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

5-8Intégrale sur un segment [a;b]en cas d"échec, poseru= tanx2

, on a alors : dx=2 du1 +u2; sinx=2u1 +u2; cosx=1u21 +u2; tanx=2u1u2

3.3. Polynômeexponentielle

Intégrer par parties ou chercher une primitive de la même forme avec un polynôme du même degré.

3.4. Primitives usuelles

On consultera le tableau

, page ci-contre. Notons qu"une primitive n"a de sens que sur un intervalle.Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

Intégrale sur un segment [a;b]5-9Tableau 1 -Primitives usuellesPrimitives simples

FonctionPrimitiveRemarques

quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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Intégrale sur un segment [a;b]5-1Sommaire

1. Intégrale defcontinue1

1.1. Intégrale defcontinue par morceaux. . 1

1.2. Interprétation géométrique

1.3. Sommes de Riemann

1.4. Propriétés

1.5. Inégalités

2. Dérivation et Intégration5

2.1. Changement de variables

2.3. Formules de Taylor

2.4. Intégration et étude locale

3. Recherche de primitives7

3.1. Fraction rationnelle enx(ou ent...). . . 7

3.2. Fractions rationnelles diverses

3.3. Polynômeexponentielle. . . . . . . . . 8

3.4. Primitives usuelles

1.1. Intégrale d"une fonction continue par morceauxThéorème :(de Darboux)

1.2. Interprétation géométrique

5-2Intégrale sur un segment [a;b]y

1Figure1 -L"intégrale simple d"une fonction positive est l"aire hachuréey

1Figure2 -L"intégrale est la différence des aires hachurées en bleu et vert1.3. Calcul approché d"intégrales et sommes de Riemann

Surchacundecesintervallesdelargeur

On écrit :

2+k2=1n

2et on reconnait une somme de Riemann pour la fonctionf

La somme converge donc vers

011 +t2dt=4

1.4. Propriétés

0dtt+ iqui est bien l"intégrale d"une fonction continue sur[0;1]:

5-4Intégrale sur un segment [a;b]Z

0dtt+ i=Z

2+ 1dt=Z

2+ 1dtiZ

2+ 1dt

1.5. Inégalités

Théorème :f:[a;b]!:8

Théorème :a < b,

Théorème :a < b,

Théorème :a < b

6(ba)sup

2.1. Changement de variablesThéorème :fcontinue sur[a;b],'de classeC1sur[;], avec'([;])[a;b], alorsZ

011 + costdtqui est bien l"intégrale d"une fonction continue sur

Comme on le verra dans la suite, on poseu= tant2

011 + costdt=Z

1u21 +u2

2 du1 +u2=Z

5-6Intégrale sur un segment [a;b]2.2. Inégalité des accroissements finis

6jxajnjxajM(

Or lim

Regardons par exempleZ8t7t

8+ 1dt!... Si la technique de terminale fonctionne, il faut l"uti-

3.1. Fraction rationnelle enx(ou ent...)

1xa, s"intègrent en lnjxaj

2+px+q, avec<0, s"intègrent en l"écrivant :a2

2+px+q+

2+px+q.

On obtient :

2+px+qde la formeu0u

2+px+q.

3.2. Fractions rationnelles diverses

F ractionr ationnelleen ex, chx, shx

Poseru= ex

F ractionr ationnelleen xetpax+b

Poseru=pax+b

F ractionr ationnelleen sin xet cosx

5-8Intégrale sur un segment [a;b]en cas d"échec, poseru= tanx2

3.3. Polynômeexponentielle

3.4. Primitives usuelles

On consultera le tableau

FonctionPrimitiveRemarques

Théorème :f:[a;b]!:8