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A) Positivité Soit f continue par morceaux sur [ ] ba, , avec ba ≤ Si 0 ≥ f sur [ ] ba, , alors 0 ≥ ∫b a f Démonstration : La fonction nulle appartient à )(f −

Figure 1 – L'intégrale simple d'une fonction positive est l'aire hachurée Démonstration : Ces théorèmes se montrent facilement en prenant F et G des primitives de f et g et dérivée f nulle sur l'intervalle, et donc, f est nulle sur l' intervalle

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Théorème 2 2 et définition 2 1 : intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment Théorème 2 3 Démonstration : • Soit : a = a0 < pm([a,b],), positive, f est minorée par la fonction nulle, en escaliers sur [a,b], alors par définition

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8 nov 2011 · Alors f est intégrable sur [a, b] et son intégrale est nulle Démonstration : La fonction g−f est non nulle sur un ensemble fini de points de [a,

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il est parfois intéressant de prendre pour fonction u la primitive de u nulle en a ou en b Existe-t-il une démonstration simple de ce résultat avec les hypoth`eses

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Plus généralement, en adaptant la démonstration précédente, on obtient Théorème 5 une fonction continue, positive et d'intégrale nulle, est nulle

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Démonstration : Si la fonction n'est pas nulle en x0 , alors il existe un intervalle ouvert ou la fonction sera au dessus d'un ǫ>0 Et on montre que l'intégrale est

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Propriétés élémentaires de l'intégrale de Riemann Démonstration du théorème nulle est en fait une fonction constante, ce qui est connu □ Corollaire

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exemple, la fonction nulle sur ] − 1,0[∪]0,1[ admet comme primitives les fonctions La démonstration de cette derni`ere propriété repose sur la continuité uni-

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Définition-théorème (Intégrale d'une fonction en escalier) Soient f : [a, b] −→ Démonstration Pour toute subdivision σ = (x0, , xn) de [a, b] adaptée à f , posons : Iσ = (v) Si f et g sont égales sauf en un nombre fini de points, g − f est nulle

E´(f)

şb af=!şb aφ,φPE´(f)) şb afěşb a0 = 0 f1,f2 [a,b

Ø] λPR

b a (f1+f2) =ż b a f

1+ż

b a f 2 b a λf

1=λż

b a f 1 b a

F([a,b

Ø],R)

aąb

εą0

φ1PE´(f1)ψ1PE+(f1)

żb a f 1) b a b a f b a żb a f 1) b a f 1=# żb a

φ,φPE´(f1)+

(şb af1) aφ,φPE´(f1))

φ1PE´(f1)

(şb af1)

´εăşb

aφ1 şb af1 şb af1 şb af1=!şb aψ,ψPE+(f1))

ā φ2PE´(f2)ψ2PE+(f2)

żb a f 2) b a b a f b a żb a f 2) b a f

1+ż

b a f b a

1+ż

b a b a f

1+ż

b a f b a

1+ż

b a b a f

1+ż

b a f

2+2ε

φ1+φ2PE´(f1+f2)

āψ1+ψ2PE+(f1+f2)

b a b a b a (ψ1+ψ2) şb aφφPE´(f1+f2) aψψPE+(f1+f2)

φ1+φ2 şb

a(φ1+φ2) =şb aφ1+şb aφ2 b a (f1+f2)´ż b a f

1´ż

b a f 2ˇ b a (f1+f2) =ż b a f

1+ż

b a f 2

λě0

żb a f 1) b a b a f b a żb a f 1) af1+λε şb aλψ1

ˇˇˇşb

aλf1´λşb

ĕ λă0 Ŀ ŀ

ɍa=b

ɍaąb ā ɍaăb

´1

S R f S

abcS b a f=ż c a f+ż b c f aăcăb

εą0

φPE´(f)ψPE+(f)

żb a f) b a b a b a żb a f) şc aψ

φ|[a,c] [a,c]

afşc af ā ĕ şb cψ şb af+şb aψ a=băc Ę băaăc şa bf=şc bf+şa cf şa bf=şc bf´şc af şb af=şc af+şb cf fg [a,b]aăb făg b a făż b a g f [a,b] b a b a fˇ b a |f|

ɍa=b

b a|f| ´şb b a f(x)xˇ b a b a f(x)g(x)xˇ b a xP[a,b]|g(x)|ż b a |f(x)|x ag ag(x)x

ɍaąb Ŀ ŀ şb

af(x)x=´şa bf(x)x

ā ˇˇˇşb

a|f(x)|xˇˇˇā aěb fg [a,b] ĕ şb af=şb ag f [a,b]

σ= (x0a,x1,...xnb) f

iPJ1,nK fi f|]xi´1,xi[ [xi´1,xi]

şxi

x i´1f=şxi x i´1fi şb af=řn i=1ş xi x i´1f=řn i=1ş xi x i´1fi f [a,b]aăb f şb afą0

ĕ ĕ cP[a,b] f(c)ą0

f c αą0 [c1,c2] 2 şb af=ż c1 a f loomoon

ě0+ż

c2 c 1f loomoon

ě(c2´c1)f(c)

ą0+

b c 2f loomoon

ě0ą0

ab aăb C

0([a,b],R)

C0([a,b],R) R

(f,g)ÞÝÑż b a fˆg f,f1,g,g1PC0([a,b],R)λPR b a f(g+λg1) =ż b a fg+λfg1=ż b a fg+λż b a fg1 żb aquotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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E´(f)

Ø] λPR

1+ż

1=λż

F([a,b

Ø],R)

εą0

φ1PE´(f1)ψ1PE+(f1)

φ,φPE´(f1)+

φ1PE´(f1)

´εăşb

ā φ2PE´(f2)ψ2PE+(f2)

1+ż

1+ż

1+ż

1+ż

1+ż

2+2ε

φ1+φ2PE´(f1+f2)

āψ1+ψ2PE+(f1+f2)

φ1+φ2 şb

1´ż

1+ż

λě0

ˇˇˇşb

ĕ λă0 Ŀ ŀ

ɍa=b

ɍaąb ā ɍaăb

S R f S

εą0

φPE´(f)ψPE+(f)

φ|[a,c] [a,c]

ɍa=b

ɍaąb Ŀ ŀ şb

ā ˇˇˇşb

σ= (x0a,x1,...xnb) f

şxi

ĕ ĕ cP[a,b] f(c)ą0

ě0+ż

ě(c2´c1)f(c)

ą0+

ě0ą0

0([a,b],R)

C0([a,b],R) R