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PROPRIETE 8: Si deux droites sont parallèles, alors tout plan qui coupe l'une des droites coupe l'autre droite PROPRIETE 9

relatives de ces deux droites : sécantes, strictement parallèles ou confondues Démontrer que la droite (IJ) est sécante au plan (BCD) et construire le point

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Deux droites parallèles à un même plan ne sont pas obligatoirement parallèle entre elles De même, deux plans parallèles à une même droite ne sont pas

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→ deux plans parallèles coupés par un même plan nous donne deux droites d' intersection parallèles entre elles → avec les vecteurs, pour montrer que deux

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Deux droites coplanaires peuvent être soit sécantes , soit parallèles Pour montrer qu'une droite est parallèle à un plan , il suffit de démontrer qu'elle est

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PROPRIETE 8: Si deux droites sont parallèles, alors tout plan qui coupe l'une des droites coupe l'autre droite PROPRIETE 9

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Démontrer que les droites (IJ) et (FH) sont parallèles 4°) Démontrer que les droites 4°) Démontrer que la droite (BD) est parallèle au plan (IJKL) Exercice 13

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Une droite et un plan de l'espace sont soit sécants soit parallèles Propriété ☑ Savoir-faire : Démontrer que des droites sont orthogonales: ABC est un triangle

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démontrer que les plans (IJK) et (ABC) sont parallèles Indice : Pour prouver que deux plans sont paralleles, il suffit de trouver deux droites secantes d'un plan qui

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démontré en 3 3) : 3') Si deux plans distincts ont un point commun, leur intersection est une droite On peut aussi dire que l'on suppose que les propriétés de la

DROITES ET PLANS DANS L'ESPACE

1) REGLES DE BASE DE LA GEOMETRIE DANS L'ESPACE

Ce sont des règles ( ou axiomes ) de base qu'il est nécessaire de fixer pour pouvoir travailler dans l'espace.

REGLE 1 :

Par deux points distincts passe une seule droite.

AB On dit que les deux points distincts déterminent une droite. Si plusieurs points de l'espace appartiennent à une même droite, alors ils sont alignés

REGLE 2:

Par trois points non alignés passe un seul plan. A BC On dit que trois points non alignés déterminent un plan. Si plusieurs points de l'espace appartiennent à un même plan, alors ils sont coplanaires

REGLE 3

Si A et B sont deux points du plan P, alors tous les points de la droite (AB) appartiennent au plan P.

ABP

REGLE 4:

Si deux plans distincts ont un point commun, alors leur intersection est une droite. Si deux plans distincts ont pour intersection la droite d, alors on dit qu'ils sont sécants selon d .

REGLE 5:

Tous les résultats de la géométrie plane s'appliquent dans chaque plan de l'espace. Rem : ( conséquences des règles précèdentes )

Un plan peut être déterminé par :

un point et une droite ne passant pas par ce point. deux droites sécantes. CB A d

2) LE PARALLELISME DANS L'ESPACE

A) POSITION RELATIVE DE DEUX PLANS

PROPRIETE 1:

Deux plans peuvent être :

sécants ( leur intersection est une droite ) parallèles ( ils n'ont aucun point commun ou ils sont confondus )

PROPRIETE 2:

Soit P un plan et A un point.

Il existe un unique plan parallèle à P et passant par A . A

Dans chacun des cas, on peut définir le

plan par trois points non alignés. d d'B A C 2

B) POSITION RELATIVE D'UNE DROITE ET D'UN PLAN

PROPRIETE 3:

Une droite peut être :

sécante à un plan ( La droite et le plan ont un seul point commun ) parallèle à un plan ( La droite et le plan n' ont aucun point commun ou la droite est contenue dans le plan )

C) POSITION RELATIVE DE DEUX DROITES DE L'ESPACE

DEFINITION:

Deux droites de l'espace sont parallèles si elles sont coplanaires (contenues dans un même plan ) et si elles n'ont pas de point commun ou sont confondues. dd''d' d//d' d'//d'' Rem : Deux droites parallèles distinctes déterminent un plan .

PROPRIETE 4:

Deux droites de l'espace peuvent être :

coplanaires

Elles sont alors sécantes ou parallèles )

non coplanaires ( C'est à dire, il n'existe aucun plan contenant à la fois ces deux droites. )

PROPRIETE 5:

Soit d une droite et A un point.

Il existe une unique droite parallèle à d et passant par A . A d

D) PROPRIETES DU PARALLELISME

PROPRIETE 6:

Si une droite d est parallèle à une droite d'un plan P , alors la droite d est parallèle au plan P .

PROPRIETE 7:

Si une droite d est parallèle à un plan P , alors elle est parallèle à au moins une droite du plan P . Pd

PROPRIETE 8:

Si deux droites sont parallèles, alors tout plan qui coupe l'une des droites coupe l'autre droite.

PROPRIETE 9:

Si deux plans sont parallèles, alors toute droite qui coupe l'un coupe l'autre. 3

PROPRIETE 10:

Si deux plans sont parallèles, alors tout plan parallèle à l'un est parallèle à l'autre.

PROPRIETE 11:

Si deux droites sont parallèles, alors toute droite parallèle à l'une est parallèle à l'autre.

PROPRIETE 12:

Si deux droites sont parallèles, alors tout plan parallèle à l'une est parallèle à l'autre.

PROPRIETE 13:

Si deux plans sont parallèles, alors toute droite parallèle à l'un est parallèle à l'autre.

PROPRIETE 14:

Si P et P' sont deux plans sécants et parallèles à une droite d , alors l'intersection de P et P' est parallèle à d . d d'

PROPRIETE 15:

Si deux plans sont parallèles, alors tout plan qui coupe l'un coupe l'autre et les intersections sont des droites parallèles.

PROPRIETE 16:

Si deux droites sécantes d'un plan sont parallèles à un autre plan, alors ces deux plans sont parallèles.

PROPRIETE 17:

Si deux plans sont parallèles, alors toute droite de l'un des plans est parallèle

à l'autre plan.

P P' d d'

3) PROJECTION

DEFINITION:

Soit P un plan et d une droite non parallèle à P . La projection sur P parallèlement à d associe à chaque point M de l'espace un point M' . Ce point M' est le point d'intersection du plan P et de la droite parallèle à d passant par M .quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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DROITES ET PLANS DANS L'ESPACE

1) REGLES DE BASE DE LA GEOMETRIE DANS L'ESPACE

REGLE 1 :

Par deux points distincts passe une seule droite.

REGLE 2:

REGLE 3

REGLE 4:

REGLE 5:

Un plan peut être déterminé par :

2) LE PARALLELISME DANS L'ESPACE

A) POSITION RELATIVE DE DEUX PLANS

PROPRIETE 1:

Deux plans peuvent être :

PROPRIETE 2:

Soit P un plan et A un point.

Dans chacun des cas, on peut définir le

B) POSITION RELATIVE D'UNE DROITE ET D'UN PLAN

PROPRIETE 3:

Une droite peut être :

C) POSITION RELATIVE DE DEUX DROITES DE L'ESPACE

DEFINITION:

PROPRIETE 4:

Deux droites de l'espace peuvent être :

Elles sont alors sécantes ou parallèles )

PROPRIETE 5:

Soit d une droite et A un point.

D) PROPRIETES DU PARALLELISME

PROPRIETE 6:

PROPRIETE 7:

PROPRIETE 8:

PROPRIETE 9:

PROPRIETE 10:

PROPRIETE 11:

PROPRIETE 12:

PROPRIETE 13:

PROPRIETE 14:

PROPRIETE 15:

PROPRIETE 16:

PROPRIETE 17:

à l'autre plan.

3) PROJECTION

DEFINITION: