Fonction Dérivée 1 Dérivée 2 Différentielle y = u(x) y' = u'(x) dy dx = du dx y' = u' + v' dy dx = du dx + dv dx dy = du + dv y = u(x) v(x) y' = u'v + v'u dy dx = v
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1 Dérivation des fonctions élémentaires Fonction Df Dérivée (uv) = u v + uv Dérivée de l'inverse (1 u ) = − u u2 Dérivée du quotient (u v ) = u v − uv v2
[PDF] Tableaux des dérivées Dérivées des fonctions usuelles Notes
Intervalles de dérivabilité P f (x) = k (constante réelle) f ' (x) = 0 ℝ 1 U f (x) = x Dérivées Conditions f = u + v f ' = u' + v' u et v dérivables sur un intervalle I
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On rappelle les dérivées des fonctions usuelles ainsi que les formules générales de u u2 uα,α ∈ R∗ αu uα−1 √ u u 2 √ u ln(u) u u exp(u) u exp(u) cos(u)
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Opérations et dérivées u et v sont des fonctions dérivables sur un intervalle I et k est un nombre réel fixé Fonction Dérivée Dérivabilité Somme f = u + v f' = u' +
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3 2 4 Dérivée de l'inverse d'une fonction, d'un quotient Propriété : Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle J,
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df dx = f′(x) 1 3 Calcul d'une dérivée Par la suite f,u,v sont des fonctions de x continûment dérivables et
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Calculons le nombre dérivé de la fonction f en un nombre réel quelconque a Pour h ≠ 0 : f (a + h) − f u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I
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Règles et formules de dérivation Règles de dérivation Si c est une constante, u et v des fonctions et x la variable indépendante, alors 1 (cu)∨ = cu∨ 2
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u et D′ v On note de plus D∗ v = {x ∈ Dv, tel que, v(x) = 0}
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Fonction Dérivée 1 Dérivée 2 Différentielle y = u(x) y' = u'(x) dy dx = du dx y' = u' + v' dy dx = du dx + dv dx dy = du + dv y = u(x) v(x) y' = u'v + v'u dy dx = v
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Dérivées 1/2 DERIVEES I) Calcul de la fonction dérivée
1) Dérivées des fonctions usuelles
Dérivée de
fonctions usuelles Type de fonction Fonction dérivable sur Fonction dérivée constante xka
R xa0 identité xxa
R xa1 affine xaxba+
R xaa puissance xxna, n³1 R xnxna-1 inverse x xa1 R* xxa-12 inverse de puissance xxn
a1, n³1 R* x nxn a-+1 racine carrée xxa ]0 ;+¥[ x xa12 logarithme népérien xxlna
]0 ;+¥[ x xa1 exponentielle xexa R x exa2) Théorèmes usuels : u et v sont deux fonctions dérivables sur I, alors .
Opération la fonction somme de u et v u + v est dérivable sur I ; ()uvuv+¢=¢+¢ la fonction produit de u et v uv est dérivable sur I ; ()uvuvuv¢=¢+¢ la fonction produit de u par un réel ku, où kÎR est dérivable sur I ; ()kuku¢=¢ si de plus, v ne s annule pas sur I , la fonction quotient de u par v u v est dérivable sur I ; ()u vuvuvv¢=¢-¢ 2 la fonction composée de u par v uvo est dérivable sur I ()()uvuuvoo¢ la fonction carré de u u² est dérivable sur I ; uuu¢´=¢2)(2 si de plus, v ne s annule pas sur I , la fonction inverse de v 1 v est dérivable sur I ; ()1 2 vvv¢=-¢ la fonction puissance de u un où n³1 est dérivable sur I ; 1)(-´¢=¢nnuunu si de plus, u est strictement positive sur I, la fonction racine carrée de u u est dérivable sur I ; ()u uu2¢=¢ si de plus, u est strictement positive sur I, la fonction logarithme de u uln est dérivable sur I ; ()u uu¢=¢ln
la fonction exponentielle de u ue est dérivable sur I ; ()uueue´¢=¢ II) Application de la fonction dérivée f ' : variations et extremum de f. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et ¢f sa dérivée.Théorème :
· Si la dérivée ¢f est strictement positive sur I (sauf en quelques points isolés où elle s'annule), alors f est strictement
croissante sur I.· Si la dérivée ¢f est strictement négative sur I (sauf en quelques points isolés où elle s'annule), alors f est strictement
décroissante sur I. · Si la dérivée ¢f est nulle sur I, alors f est constante sur I.Dérivées 2/2 Méthode : dans les exercices, l'étude justifiée du signe de la fonction dérivée ¢f donne le sens de variation de la
fonction f. Théorème : Soit x0 un réel de I (distinct des extrémités de I).Si la dérivée ¢f s'annule en x0 en changeant de signe, alors f(x0) est un extremum (local) de f sur I.
III) Tangentes à une courbe
Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I, x0 un nombre réel de I et C f la courbe représentative de la fonction f. Alors le nombre dérivé )(0xf¢ est le coefficient directeur de la tangente à C f au point d'abscisse x0. Remarques : 1) Déterminer une équation de la tangente à C f au point d'abscisse x0 revient à chercher une équation de la droite passant par le point de
coordonnées ())(,00xfx et de coefficient directeur )(0xf¢.2) On peut rappeler la formule donnant l'équation de la tangente :
()()()000xfxxxfy+-¢=.IV) Résolution d'équation
Théorème :Soit f une fonction dérivable sur l'intervalle [a ; b]. Si ¢f est strictement positive sur ]a ; b[ alors :· f est strictement croissante sur [a ; b] ;
· Pour tout réel k appartenant à l'intervalle image [f(a) ; f(b)], l'équation f(x) = k admet une solution et une seule a dans [a ; b]. Rappel : f est croissante sur [a ; b] signifie que pour tous réels x et x' de [a ; b] tels que x £ x', on a f(x) £ f(x'). Théorème :Soit f une fonction dérivable sur l'intervalle [a ; b]. Si ¢f est strictement négative sur ]a ; b[ alors : · f est strictement décroissante sur [a ; b] ; · Pour tout réel k appartenant à l'intervalle image [f(b) ; f(a)], l'équation f(x) = k admet une solution et une seule a dans [a ; b]. Rappel : f est décroissante sur [a ; b] signifie que pour tous réels x et x' de [a ; b] tels que x £ x', on a f(x) ³ f(x').Remarques : 1) On a besoin d'utiliser ces théorèmes, lorsque l'on ne peut pas résoudre algébriquement l'équation
considérée : le théorème assure l'existence d'une solution unique a dont on recherche ensuite une valeur approchée à
l'aide de la calculatrice.2) Considérons un exercice dans lequel on a besoin d'utiliser un des deux théorèmes précédents ; par
exemple, " montrer que l'équation f(x) = 2 admet une solution unique dans l'intervalle [-1 ; 10] ».
¬ On montre que ¢f est strictement positive sur ]-1 ; 10[ et on en déduit que f est strictement croissante sur [-1 ; 10] ; Á En montrant par calcul que f(-1) < 2 < f(10), on montre que 2 appartient bien à l'intervalle image [f(-1) ; f(10)] et on en déduit que l'équation f(x) = 2 admet une solution unique dans l'intervalle [-1 ; 10]. OC f x 0f( x0) ()K+¢=xxfy0 Oa bf(b) f(a)y = ka C f