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1 Dérivation des fonctions élémentaires Fonction Df Dérivée (uv) = u v + uv Dérivée de l'inverse (1 u ) = − u u2 Dérivée du quotient (u v ) = u v − uv v2

[PDF] Tableaux des dérivées Dérivées des fonctions usuelles Notes

Intervalles de dérivabilité P f (x) = k (constante réelle) f ' (x) = 0 ℝ 1 U f (x) = x Dérivées Conditions f = u + v f ' = u' + v' u et v dérivables sur un intervalle I

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On rappelle les dérivées des fonctions usuelles ainsi que les formules générales de u u2 uα,α ∈ R∗ αu uα−1 √ u u 2 √ u ln(u) u u exp(u) u exp(u) cos(u)

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Opérations et dérivées u et v sont des fonctions dérivables sur un intervalle I et k est un nombre réel fixé Fonction Dérivée Dérivabilité Somme f = u + v f' = u' + 

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3 2 4 Dérivée de l'inverse d'une fonction, d'un quotient Propriété : Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle J, 

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df dx = f′(x) 1 3 Calcul d'une dérivée Par la suite f,u,v sont des fonctions de x continûment dérivables et 

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Calculons le nombre dérivé de la fonction f en un nombre réel quelconque a Pour h ≠ 0 : f (a + h) − f u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I

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Règles et formules de dérivation Règles de dérivation Si c est une constante, u et v des fonctions et x la variable indépendante, alors 1 (cu)∨ = cu∨ 2

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u et D′ v On note de plus D∗ v = {x ∈ Dv, tel que, v(x) = 0} 

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Fonction Dérivée 1 Dérivée 2 Différentielle y = u(x) y' = u'(x) dy dx = du dx y' = u' + v' dy dx = du dx + dv dx dy = du + dv y = u(x) v(x) y' = u'v + v'u dy dx = v

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Dérivées usuelles On admet les formules de dérivation pour les fonctions usuelles ci-dessous.

Opérations et dérivées

u et v sont des fonctions dérivables sur un intervalle I et k est un nombre réel fixé.

Fonction Dérivée Dérivabilité

Somme f = u + v f" = u" + v" dérivable sur

l"intervalle I

Produit f = ku f" = ku" dérivable sur

l"intervalle I f = uv f" = u"v+uv"

Quotient

f = 1 v f" = - v" v2 dérivable pour les x de

I où v(x) ¹ 0

f = u v f" = u"v - uv" v2

Remarque

Si f = u

2 = u × u, alors f" = u"u + uu" = 2uu".

Composition

Si u est dérivable en x de I et g dérivable en u(x), alors f = g o u est dérivable en x et f"(x) = g"(u(x)) ´ u"(x).

Conséquences :

Soit u

une fonction dérivable sur un intervalle I.

Fonction Dérivée Dérivabilité

f = un, n est un entier naturel, n ≥ 1 f" = nun - 1 ´ u" dérivable sur l"intervalle I f = 1 u avec u(x) ¹ 0 f" = - 1 u2 ´ u" = - u" u2 dérivable pour les x de I où u(x) ¹ 0 f = u, avec u(x) > 0 f" = 1

2u ´ u" = u"

2u dérivable pour les x

de I où u(x) > 0 f = 1 un avec u(x) ¹ 0 f" = - n un + 1 ´ u" = - nu" un + 1 dérivable pour les x de I où u(x) ¹ 0

Fonction Dérivée Validité

f(x) = k f "(x) = 0 k nombre réel constant ; x Î r f(x) = x f "(x) = 1 x Î r f(x) = x2 f "(x) = 2x x Î r f(x) = x3 f "(x) = 3x2 x Î r f(x) = xn f "(x) = nxn - 1 n entier naturel supérieur ou égal

à 2 ;

x Î r

Fonction Dérivée Validité

f(x) = 1 x f "(x) = - 1 x2 x Î r* f(x) = 1 x2 f "(x) = - 2 x3 x Î r* f(x) = 1 xn f "(x) = - n xn+1 n entier naturel non nul x Î r* f(x) = x f "(x) = 1

2x x ÎÎÎÎ ]0 ; +¥¥¥¥[

pourtant f est définie pour x Î [0;+¥[quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50