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Matricesetdéterminants

0Quelquesrappelsdepremièreannée

0.1Matricesetapplicationslinéaires

respectivepetn.

C?=(f1?,...,fn?).

0.1.1Définitions

3.Endéduiredet?.

Réciproquement,

y=u(x)?Y=MX

L(E,F)→Mn,p(K)

u?→Mat(u,B,C)estunisomorphisme.

0.1.2Changementsdebases

Coordonnées

PC1-C023septembre2023

base)B?dans(l"anciennebase)B: e

1?e2?...ep?

P

B→B?=(

((a

11a12...a1p

))←e1

···←ep

P deB?. ((a 11

···ap1)

((a

11a12...a1p

(1

0···)

Changementdematrices

OnnoteP=PB→B?etQ=PC→C?.

1.dansBetC:Y=MXoùM=Mat(u,B,C)

2.dansB?etC?:Y?=M?X?oùM?=Mat(u,B?,C?)

Casdesendomorphismes

LesmatricesMetM?sontditessemblables.

0.2Déterminants

0.2.1Définitions

propriétéssuivantes: iii.det(In)=1. detB(u1,...,un)=detM

0.2.2Propriétésdudéterminant

SoitM?Mn(K)unematricecarrée.

ii.Siλ?K,det(λM)=λndet(M).

SoientM,N?Mn(K),

i.det(M×N)=det(M)×det(N) ii.siMestinversible,det(M-1)=(det(M))-1.

Ondéfinitalors:

PC1-C02

Définition0.2.10.Mineur,cofacteur

laligneietlacolonnej:Δij=?

11...a1j-1|a1j+1...a1n

a i+11...ai+1j-1|ai+1j+1...ai+1n

SoitM=(aij)?Mn(K)unematricecarrée.

i.développementsuivantunecolonne: ?j?[[1,n]],detM=? i=1n a ij(-1)i+jΔij ii.développementsuivantuneligne: ?i?[[1,n]],detM=? j=1n a ij(-1)i+jΔij. i=1naijeiet detM=detB(c1,...,cn)=detB(c1,...,? i=1naijei,...,cn)=? i=1naijdetB(c1,...,cj-1,ei,cj+1,...,cn). detM=? detM=? i=1n a ij(-1)j-1?

1ai1...aij-1aij+1...ain

0ai+11...ai+1j-1ai+1j+1...ai+1n

Onremontelaligneipari-1permutations:

detM=? i=1n a ij(-1)i+j-2?

0a11...a1j-1a1j+1...a1n

0ai+11...ai+1j-1ai+1j+1...ai+1n

i=1n a ij(-1)i+j-2?

0a11...a1j-1a1j+1...a1n

0ai+11...ai+1j-1ai+1j+1...ai+1n

0M? définies définition0.2.1.

Soitf?L(E)dontlamatricedansBestA=(

((122 112
-2-2-3)

2.Calculerf4(e1)etendéduirequef4=IdE.

1Matricesparblocsetsous-espacesstables

1.1Matricesparblocs

M=( ((A11...A1h···fififiAk1...Akh) onditquelamatriceMestunematriceparblocs. Mest

Onmontre:

Proposition1.1.1.[opérationsparblocs]

matricesAijetBijsontdansMni,pj(K),alors

M+N=(Aij+Bij)(i,j)??1,k?×?1,??

dansMpj,qh(K),alors

M×N=??

j=1?Aij×Bjh? (i,h)??1,k?×?1,m? (j,i)??1,??×?1,k?

Exercice.SoitM=?MrM2

M1M3?

OnveutmontrerqueM3=M1Mr-1M2.

1.Peut-ontrouverA=?

Mr-10 BC? tellequeA×?Mr M1? =?Ir 0? ?Matricesparblocsetsous-espacesstables5

PC1-C02

1.2Sousespacesstables

Définition1.2.1.Sous-espacestable

Définition1.2.2.Endormorphismeinduit

usurF. adaptéeàF.Soitenfinu?L(E). n-ppn-p?AC 0D? E (A10···0Ap) montréqueImueststableparv.

2Déterminants

2.1Matricestriangulairesparblocs

SoitM=?AC

0B? detM=detA×detB

A0p,n-p

0n-p,pIn-p?

,B?=?

Ip0p,n-p

0n-p,pB?

etC?=? IpC 0 n-p,pIn-p? .DoncdetM=detA?×detB?×detC?.

Demême,detB?=detB.?

alorsdet(M)=? i=1pdet(Ai,i). ?i?{0,...,n},L(ai)=bi.

Ondisposedelaformulesuivante:

L=? i=0n b i? ai-aj?

Démonstration.?existenceetunicité:

doncuestunisomorphisme. ?formedeL: i=0nbieiet

L=u-1(b0,b1,...,bn)=?

i=0n b iu-1(ei).

Li(aj)=0sij??0,n?\{i}

L i(ai)=1 doncLiestdivisiblepar?

Doncilexisteλ?KtelqueLi=λ?

L i=? j=1j=/in X-aj ai-aj?

Soitn?N?etx1,...,xn?K.Alors:

V n(x1,...,xn)=?

1x2x22...x2n-1

1xnxn2...xnn-1?

1?i

PC1-C02

laissentledéterminantinchangédonc: V n(x1,...,xn)=?

1xn-x1xn(xn-x1)...xnn-2(xn-x1)?

j=2n (xj-x1))

×Vn-1(x2,...,xn)

Exercice.Calculer?

a 2b2c2 a

3b3c3?

a

2+b2b2+c2c2+a2

a

3+b3b3+c3c3+a3?

?i?{0,...,n},L(ai)=bi

3Trace

SoitM=(mi,j)?Mn(K).LatracedeMest:

trM=? i=1n m i,i. i.LatraceestuneformelinéairesurMn(K). tr(M)=? i=1k tr(Aii)

Proposition3.0.3.Soit(A,B)?Mn(K)2.Alors:

tr(AB)=tr(BA).

Démonstration.Eneffet,tr(AB)=?

i=1n k=1n a i,kbk,i? k=1n i=1n b k,iai,k? =tr(BA).?

Définition3.0.4.Matricessemblables

On-r,rOn-r,n-r?

,dontlatracevautr.

Ainsitrp=r=rgp.?

-(an)n?N+(bn)n?N=(an+bn)n?N -λ·(an)n?N=(λan)n?N k=0napbn-p.

UnpolynômeP=(an)n?Nsenotealors?

n=0n

P×Q=(?

n=0n

0anXn)×(?

n=0n commutatif.

SoitP=?

k=0nakXk?K[X].

OnnotealorsP(u)l"endomorphismedeE:

P(u)=?

k=0n a kuk=a0IdE+a1u+···+anun alorsP(M)lamatricedeMp(K):

P(M)=?

k=0n a kMk=a0Ip+a1M+···+anMn pasdesens.

Exemple.

enparticulier,P(IdE)=P()IdE.

PC1-C02

Remarque.

Φ:K[X]→L(E)

P?→P(u)etΨ:K[X]→Mp(K)

P?→P(M)

Définition4.0.3.Polynômeannulateur

(resp.P(M)=0). oud'unematrice.

Exercice4.0.1.

).SoitJp=0 B C

CA?Mp(R).

2.SoitA=0

B

B@-111

1-11 11-11 C CA

1.Formulesdechan}ementdebases.

Unpeud"histoire:

PC1-C02

((A1···Ap) B0? oùA?Mr(K). deRnenunesommedirecteparticulière. A=( ((((ab...b b...ba)

3.EndéduireledéterminantdeA.

Exercice4.Soitn?3

i??0,k?)=Vect(Xi,i??0,k?). i=0kXi.Calculerledéterminant diagonauxconnus.

E023septembre2023

Indication:NewtonetVandermonde

netonconsidèrelesmatrices: A=( ((((((((((a

1a2a3...an

ana1a2an-1 a2a3...ana1) ))))))))))etM=( ((((((((((((111...1

1ωω2...ωn-1

1ω2ω4ω2(n-1)

1ωn-1ω2(n-1)...ω(n-1)(n-1))

ligneietlacolonnej.

1.Quevaut,pourj?[[1,n]],?

i=1n(-1)i+jai,jdetAi,j?

2.Montrerque,pourtousj=/kde[[1,n]],?

i=1n(-1)i+jai,kdetAi,j=0.

1?i,j?n?

4.Qu"endéduiresin=2?

tout(i,j)?Nn2|i-j|≥2=?mi,j=0.

0...011

2 a iMiA+biMiB+ciMiC=0?(?)

2.Onsuppose,pouri?{1,2,3},queai+bi+ci=1.

sontalignéssietseulementsi? 1a2a3 b1b2b3 c1c2c3?

Vandermondecorrespondante.

Exercice11.

αM+(trM)A=B

2.Réciproquement,

E02

KerT={AB-BA|A,B?Mn(K)}

Exercice17.Soitt?C?etB=(

((0tt2 1/t0t

1/t21/t0)

ensommedirecte. 4quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50