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Chapitre7

D´eterminants

quementdansM n (R).

Led´eterminantestuneapplicationdeM

n (R)dansRquiadenombreuses admettreleth´eor`emesuivant. n (R)dansR,appel´eed´eter- minant,telleque

´etantfix´es.

nul. n vaut1. detA= a 11 a 12

···a

1n a 21
a 22

···a

2n a n1 a n2

···a

nn i ?R n detA= a 1 a 2

···a

n 105

106CHAPITRE7.D´eterminants

UneapplicationdeM

n n .Lesautres

Proposition49SoitAunematricen×netA

lamatriceobtenueen´echangeant deuxcolonnesdistinctesdeA.AlorsonadetA =-detA.

D´emonstration.SoitA=

a 1

···a

i

···a

j

···a

n .Onva´echangerlescolonnes ietj,cequidonnelamatriceA a 1

···a

j

···a

i

···a

n ,o`ulevecteura j seretrouveencolonneietlevecteura i encolonnej(onprisiciiIntroduisonsalorsunetroisi`emematrice A= a 1

···a

i +a j

···a

j +a i

···a

n det A=0. det A=det a 1

···a

i

···a

j +a i

···a

n +det a 1

···a

j

···a

j +a i

···a

n =det a 1

···a

i

···a

j

···a

n +det a 1

···a

i

···a

i

···a

n +det a 1

···a

j

···a

j

···a

n +det a 1

···a

j

···a

i

···a

n =detA+0+0+detA

Proposition50SoitAunematricen×netA

lamatriceobtenueenajoutant`a detA =detA.

D´emonstration.SoitA=

a 1

···a

i

···a

n etdonnonsnousdesscalairesλ j j=1,...,n,j?=i.Onpose A a 1

···a

i n j=1 j?=i j a j

···a

n detA =detA+ n j=1 j?=i j det a 1

···a

j

···a

n alorsdetA=0.

7.2D´eterminantsetmatricesinversibles

ona detA=a 11 a 22

···a

nn A= a 11 a 12 a 13

···a

1n 0a 22
a 23

···a

2n 00a 33

···a

3n

000···a

nn detA=a 11 1a 12 a 13

···a

1n 0a 22
a 23

···a

2n 00a 33

···a

3n

000···a

nn

108CHAPITRE7.D´eterminants

1j

×lacolonne1.Ceci

detA=a 11

100···0

0a 22
a 23

···a

2n 00a 33

···a

3n

000···a

nn detA=a 11 a 22

100···0

01a 23

···a

2n 00a 33

···a

3n

000···a

nn boutden´etapes,onaobtenu detA=a 11 a 22
a 33

···a

nn

100···0

010···0

001···0

000···1

=a 11 a 22
a 33

···a

nn detI n d'o`uler´esultatpariii).? des1surladiagonale. matriceI n

Corollaire52,onend´eduitquedetA=0.

T estaussiinversible,doncl'algo- rithmedeGaussappliqu´e`aA T valentelamatriceI n j tellesque (E p E p-1

···E

2 E 1 )A T =I n ?(A(E T 1 E T 2

···E

T p )=I n puisqueI T n =I n

Onend´eduitque

det(AE T 1 1 detA, puisque det(AE T 1 E T 2 2 det(AE T 1 2 1 detA, puisparr´ecurrenceque

1=detI

n p 2 1 detA, o`uλ i i =detE i .Danstouslescas,onvoit que detA?=0

110CHAPITRE7.D´eterminants

Remarque42Onobtientdelasorteque

detA= 1 p 2 1 1 detE p

···detE

2 detE 1 3 /3).Dans ordinateur.?

Corollaire55Led´eterminantestunique.

D´emonstration.SoientDetD

surI n ,lequel

D(A)=D(A

1 p 2 1

Eneffet,lescoefficientsλ

i sontlesmˆemespourDetD donc0=D(A)=D(A )´egalementdanscecas.? d´eterminant,lamultiplicativit´e.

Th´eor`eme56Ona

det(AB)=detAdetB. i lesmatrices

´el´ementairesetλ

i B(E T 1 E T 2

···E

T p )=I n etdetB= 1 p 2 1 det(C(E T 1 E T 2

···E

T p p 2 1 detC. Or C(E T 1 E T 2

···E

T p )=A(B(E T 1 E T 2

···E

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