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permutations) mais allons plutôt nous concentrer sur le calcul celui-ci 3- Calcul du déterminant pour une matrice Considérons la matrice de dimension 2 2 :

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Le système Ax = b admet-il une unique sol ? Oui Non Est-ce que la matrice A est inversible ? Oui Non Les colonnes de A sont-elles liées ou libres ? libres

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a dans A On appelle cofacteur du terme ij a le produit ij ji A)1( + − n1 n1 1n 13 13 12 12 11 11 Aa)1( Aa Aa AaAdet + −++ + − = K Ex matrice 3x3 

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1 Qu'est-ce que le déterminant d'une matrice ? Nous généralisons ici la notion de déterminant que vous connaissez déjà en dimension 2 et 3 La définition que 

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Matrices et déterminants (5ème - 6h) 1 On appelle matrice à p lignes et à n colonnes tout tableau rectangulaire dont les éléments 4x1 −2x2 − 3x3 = −5

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17 sept 2013 · Soit A ∈ Mn,p(R) une matrice, on appelle rang de la matrice A, le rang dans Rn du syst`eme constitué par ses p vecteurs colonnes, notation 

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21 fév 2013 · colonnes d'une matrice (ou on en supprime d'autres) : 1 2 π déterminant d'une sous-matrice de A à p lignes et p colonnes ; x1 + 2x2 + 3x3

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La trace d'une matrice carrée A est la somme de ses coefficients diago- naux : trA = 2 Déterminant 2 1 2 × 2 3 Matrices équivalentes et matrices semblables

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de déterminant au cas des matrices carrées 3 × 3 Vidéo https://clipedia be/ videos/determinant-3x3 Cette séquence exploite les notions de produit vectoriel et 

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Notes rédigées par Laurent ZIMMERMANN??????À l"aide des notions de produits vectoriel et mixte, nous généralisons le concept

de déterminant au cas des matrices carrées 33.?????https://clipedia.be/videos/determinant-3x3 Cette séquence exploite les notions de produit vectoriel et de produit mixte. https://clipedia. Une matriceAde dimension 33 peut être vue comme étant composée de trois vecteurs colonnes. En notant ces vecteurs ~u,~vet~w: u=0 @u x u y u z1 A ~v=0 @v x v y v z1 A ~w=0 @w x w y w z1 A !A=0 @u xvxwx u yvywy u zvzwz1 A Ces trois vecteurs ne sont dès lors autres que les transformations par cette matriceA des trois vecteurs de base~1x,~1yet~1z: 0 @u x u y u z1 A =A0 @1 0 01 A0 @v x v y v z1 A =A0 @0 1 01 A0 @w x w y w z1 A =A0 @0 0 11 A Le produit vectoriel~v~west un vecteur~Sdont l"orientation est donnée par la règle de la main droite et dont la valeur est égale à l"aire de la surface du parallélogramme construit sur les vecteur ~vet~w. 2 Une règle mnémotechnique a été imaginée pour le calculer : .écrire le produit vectoriel sous la forme d"un tableau dont la première rangée (ligne ou colonne) contient les trois vecteurs de base et dont les rangées suivantes contiennent les composantes des vecteurs ~vet~w: v~w=

1x~1y~1z

v xvyvz w xwywz ou~v~w=

1xvxwx~1yvywy~1zvzwz

.multiplier chaque vecteur de base par le déterminant 22 qui subsiste dans le tableau après avoir éliminé le reste de sa ligne et de sa colonne; .additionner les trois résultats, en changeant le signe de celui obtenu avec~1y:

v~w=~1x(vywzvzwy)~1y(vxwzvzwx) +~1z(vxwyvywx)Les composantes(v...w...v...w...)sont respectivement les aires des projections sur

les plansyz,xzetxydu parallélogramme construit sur~v,~w. Le produit mixte~u(~v~w)est un scalaire. Sa valeur est le volume du parallélépi- pède (oblique) construit sur les vecteurs ~u,~vet~w:

u(~v~w) =~u~S=Sucosj=Sh=VN.B. : glisser la face supérieure du parallélépipède droit parallèlement à elle-même

le déforme en un autre parallélépipède, oblique, mais volume identique. De par la définition du produit scalaire, le produit mixte~u(~v~w)s"obtient natu- rellement à partir du tableau de calcul du produit vectoriel ~v~woù les vecteurs de base sont remplacés par les composantes du vecteur ~u. u(~v~w) = u xvxwx u yvywy u zvzwz =ux(vywzvzwy)uy(vxwzvzwx) +uz(vxwyvywx) 3 Le tableau qui résulte de cette opération est le déterminant de la matrice A. det(A) = u xvxwx u yvywy u zvzwz Il peut être positif, négatif ou nul. Il en va donc de même pour le volume du parallé-

lépipède. La situation est déterminée par l"anglejcompris entre~uet~S=~v~w..Si 0j<90, le volume est positif. C"est le cas lorsque~u,~vet~wforment un

trièdre dextrogyre (cf.règle de la main droite). .Si 90