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= -1+2=1 Le déterminant de M est non nul, la matrice carrée M est donc inversible La comatrice de M est donnée par la formule :
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Exercices sur les d
´eterminants´Enonc´es´
Enonc´es des exercicesExercice 1[Corrig´e]
Calculer le d´eterminantD=?
???????0 1 1 11 0c2b2
1c20a2
1b2a20?
???????Exercice 2[Corrig´e]Calculer le d´eterminant Δ =
5 1 2 3 4
4 5 1 2 3
3 4 5 1 2
2 3 4 5 1?
Calculer le d´eterminant Δ =
?????1 cosθcos2θ cosθcos2θcos3θ cos2θcos3θcos4θ? ?????Exercice 4[Corrig´e]Calculer le d´eterminant Δ =
?????b+c c+a a+b b2+c2c2+a2a2+b2
b3+c3c3+a3a3+b3?
?????Exercice 5[Corrig´e]Calculer le d´eterminantD=?
???????1 1 1 11 1-1-1
1-1-1 1
1-1 1-1?
???????puis Δ =? ???????a b c d b a d c c d a b d c b a? ???????Exercice 6[Corrig´e]Calculer le d´eterminantD=?
?????y2+z2yx zx
xy z2+x2zy
xz yz x 2+y2? (EcrireDcomme le carr´e d"un autre d´eterminant)Exercice 7[Corrig´e]Calculer le d´eterminantD=?
?????bc+ca+ab a2+b2+c2bc+ca+ab bc+ca+ab bc+ca+ab a2+b2+c2 a2+b2+c2bc+ca+ab bc+ca+ab?
(EcrireDcomme le produit de deux d´eterminants)Exercice 8[Corrig´e]Calculer le d´eterminantD=?
?????0x y z -x0w-v -y-w0u -z v-u0? ?????Jean-Michel Ferrard 12 mai 2004 Page 1Exercices sur les d
´eterminants´Enonc´esExercice 9[Corrig´e]Calculer le d´eterminantD=?
???????x a b x a x x b b x x a x b a x? ???????Exercice 10[Corrig´e]Calculer le d´eterminantD=?
???????1x x2x3 x 3x2x11 2x3x24x3
4x33x22x1?
???????Exercice 11[Corrig´e]Calculer le d´eterminantD=?
???????-a b c d b-a d c c d-a b d c b-a? ???????Exercice 12[Corrig´e]Calculer le d´eterminantD=?
???????x y z t -y x-t z -z t x-y -t-z y x? (SiD= detA, consid´erer le produitATA)Exercice 13[Corrig´e]Calculer le d´eterminantD=?
???????1a a2a41b b2b4
1c c2c4
1d d2d4?
???????(Indication : Van Der Monde)Exercice 14[Corrig´e]CalculerD=?
b·a?b?2b·c b·d c·a c·b?c?2c·d d·a d·b d·c?d?2? ???????, o`ua,b,c,dsont des vecteurs deR3.Exercice 15[Corrig´e] On reprend l"exercice pr´ec´edent en supposant quea,b,c,dsont des vecteurs deR4.Montrer que sia,b,c,dsont li´es alorsD= 0, et que dans le cas contraireD >0.Exercice 16[Corrig´e]
Calculer le d´eterminantD=?
n+ 1n+ 2n+ 3...2n2n+ 1 2n+ 2 2n+ 3...3n
n2-n+ 1n2-n+ 2... ... n2?
Exercices sur les d
´eterminants´Enonc´esExercice 17[Corrig´e]Calculer le d´eterminantD=?
?????(a+b)2a2b2 a2(a+c)2c2
b2c2(b+c)2?
?????Exercice 18[Corrig´e]CalculerD(m,p) =?
0 mC1 m...Cp m C 0 m+1C1 m+1...Cp m+1............ C 0 m+pC1 m+p...Cp m+p?Calculer le d´eterminantD=?
1 2x3x24x35x4
1 4x9x216x325x4
1y y2y3y4
1 2y3y24y35y4?
Soitaun r´eel. On noteA=(
(((a2a2 2a
a a 22a22 2a a2a
2a2a a2)
)))etB=( (((2 2a a 2 a))))1.Calculer detAsous forme factoris´ee.2.D´eterminer le rang de la matriceA.3.R´esoudre le syst`emeAX=B.Exercice 21[Corrig´e]
Calculer le d´eterminantD=?
51 13 32 40 46
61 11 14 50 56
62 20 7 13 52
80 24 45 57 70?
Calculer le d´eterminantDn=?
q ......p q ... q p+q?Calculer le d´eterminantD=?
???????a1+b1b1b1... b1
b2a2+b2b2... b2
b nbn... bnan+bn? ???????Jean-Michel Ferrard 12 mai 2004 Page 3Exercices sur les d
´eterminants´Enonc´esExercice 24[Corrig´e]Calculer le d´eterminantD=?
0-a2a2...:
............00...0-anan
1 1...1 1?
Calculer le d´eterminantD=?
1a2... an
a1x a2... an
a1a2x......
............an a1a2... anx?
Calculer le d´eterminantD6=?
0a0 0b0
0 0a b0 0
0 0b a0 0
0b0 0a0
b0 0 0 0a?Calculer le d´eterminant d"ordren:Dn=?
??????x a ... a a x...............a a ... a x? ??????Exercice 28[Corrig´e]Calculer le d´eterminantDn=?
???????x1a ... a
a x2...............a
a ... a x n? ???????Exercice 29[Corrig´e]Calculer le d´eterminantDn=?
1a ... a
b x2......
.........a b ... b x n?(Ajoutert`a chaque coefficient. Consid´erer la fonctionDn(t)ainsi obtenue et v´erifier qu"elle est
affine par rapport `at. Utiliser ensuite deux valeurs particuli`eres det)Exercice 30[Corrig´e]Calculer le d´eterminantD=?
b1a1a1... a1
b1b2a2... a2
b1b2... bnan?
Exercices sur les d
´eterminants´Enonc´esExercice 31[Corrig´e]Calculer le d´eterminantD=?
1 n+11 0...0 C 2 n+2C1 n+21...... ...........0 ...... ...C1 n+p-11 C p n+pCp-1 n+p...C2 n+pC1 n+p?Calculer le d´eterminantDp=?
111 0...0
C 2 2C121......
............0 ...... ...C1 p-11 C p pCp-1 p...C2 pC1 p?Calculer le d´eterminantDn(x) =?
21-x a1a2... ... a1an
a2a1a22-x a2a3... a2an
a3a1a3a2a23-x ... a3an
a na1ana2... anan-1a2n-x?Calculer le d´eterminantD=?
0 1 1 ............00...0 1 1
1 0...0 1?
Calculer le d´eterminantD=?
n2...... .........n n ... n n?Calculer le d´eterminantD=?
???????P(x)P(x+ 1)... P(x+n)P(x+ 1)P(x+ 2)... P(x+n+ 1)
P(x+n)P(x+n+ 1)... P(x+ 2n)?
o`uPest un polynˆome de degr´e strictement inf´erieur `an.Jean-Michel Ferrard 12 mai 2004 Page 5