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ereannee, 2012-2013,Mathematiques et Calcul 1 (MC1)

Feuille de TD n

8 :

Matrices et determinants

Exercice 1

On considere les matrices suivantes :

A=0 @1 2 4 1 5 1

2 3 51

A B=0 @0 11 3 0

1 0 2 4 1

02 3 0 11

A Lorsqu'elles ont un sens, calculer les expressionsA+B,AB,BA,tBA,B+AB,A+AB.

Exercice 2

On considere les matrices suivantes :

A=67 5 6 B=23 2 3 C=2 1 42

Trouver les expressions deAn,BnetCnpour toutn2N.

Exercice 3

Soit la matriceA=0

@111 1 11 11 11 A

1) CalculerA2.

2) Montrer queA2=A+ 2I.

3) En deduireA1.

Exercice 4Vrai ou faux?

SoientAetBdeux matrices carrees de dimensionnn.

1) SiAest inversible etA1=BalorsBest inversible etB1=A.

2) SiAetBsont inversibles etC=ABalorsCest inversible etC1=A1B1.

3) SiAB= 0 alorsA= 0 ouB= 0.

4) (A+B)2=A2+B2+ 2AB.

5)AB+BA= 0 ssi (A+B)2=A2+B2.

6) SiA+B=AB, alorsIAest inversible.

Exercice 5

Soient les matricesJ=0

B@0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 0 0 01

CAetA=IJ=0

B@11 0 0

0 11 0

0 0 11

0 0 0 11

C CA.

1) Calculer les puissances successives deJ.

2) Que peut-on dire deIJ4? En deduire queAest inversible et calculer son inverse.

1 2

Exercice 6

Inverser les matrices suivantes :

A=0 @1 2 4 1 01

2 1 11

A B=0 @4 11 0 2 3

2 1 31

A Exercice 7Pour chacun des systemes lineaires suivants, repondre aux questions ci-dessous. (S1)8 :4x4yz=15

2xyz=14

3x+ 2y+z= 15(S2)8

:2x3y2z= 1 z14x+ 6y= 1

5y+z11x= 1(S3)8

:2x2y3z= 2

4y+ 3z= 5

1yx= 1

1) Mettre le systeme sous forme matricielle.

2) Appliquer la methode de Gauss Jordan pour inverser la matrice du systeme.

3) Resoudre le systeme.

Exercice 8

1) Montrer que le produit de deux matrices diagonales de dimensionnnest une matrice diagonale.

2) SoitDla matrice diagonale suivante :

D=0 B B@a

10 0 0

0a20 0

0 0a30

0 0 0a41

C CA:

Determiner l'expression deDnpour toutn2N.

Exercice 9Calculer le rang des matrices suivantes : A=0 @1 42 3 1 5

2 0 41

A B=0 @4 6 0 2

2 2 1 1

1 31 31

A C=0 B

B@4 6 4

3 021 1 2 5

2 3 21

C CAD=0 @12 2 3 6 1 2

36 411

Exercice 10

On considere la fonctionf:R3!R3

(x;y;z)7!(2xyz;y;z):

On noteB3la base canonique deR3.

1) Montrer quefest un endomorphisme deR3.

2) Ecrire la matriceA0:= matB3;B3(f) defdans la base canoniqueB3deR3.

3) SoitB03= (u1;u2;u3) ou

1= (1;1;0)

2= (1;0;1)

3= (1;0;0)

Montrer queB03est une base deR3.

4) Ecrire la matriceA1= matB03;B3(f).

5) Ecrire la matrice de passagePdeB3aB03. Calculer la matrice deA2= matB03;B03(f).

Exercice 11

On noteR3[X] l'espace vectoriel des polyn^omes de degre inferieur ou egal a 3, et on introduit sa base

canonique :Bcan= (1;X;X2;X3). On considere l'application f:R3[X]!R3[X]

P7!P+ (1X)P0

1) Montrer quefest une application lineaire deR3[X] dansR3[X].

2) Montrer que la familleB=f1;1X;1 +X2;1X3gest une base deR3[X].

3) Calculer les matrices mat

Bcan;Bcan(f), matBcan;B(f) et matB;Bcan(f).

Exercice 12

Calculer les determinants suivants :

1 2 21
3 1 1 0 2 0 0 0 1 3 12 93 6
0 0 1 2 0 4 5 3 2 01 5

0 3 12

4 11 2

3 1 21

4 2 12

Exercice 13

CalculerD=

0 1 1 2 2 1 1 1 1 de plusieurs facons :

1) En developpant suivant la premiere ligne.

2) En developpant suivant la premiere colonne.

3) En remarquant que la troisieme ligne s'ecrit (0;1;1) + (1;0;0).

4) En faisant des operations sur les lignes.

Exercice 14

Pour chaque des systemes d'equations suivants, repondre aux questions ci-dessous. (S1)8 :6x+y+z=5

3x+yz=8

x2y+z= 16(S2)8 :3x+z= 3 xy+ 2z= 1

2y+z= 0(S3)8

:2x+ 4y+z= 2

3xz= 3

2x+ 2y+z= 4

1) A l'aide du calcul de determinants, que peut-on dire sur le nombre de solutions du systeme?

2) Resoudre ces systemes.

Exercice 15

Montrer que pour tout (a;b;c)2R3, on a1 1 1

a b c b+c a+c a+b = 0:

Exercice 16

Soienta;b;ctrois reels. Calculer le determinantabc2a2a

2b bca2b

2c2c cab

Exercice 17

Determiner les reelstpour lesquels la matrice

A t=0 @t2 4 3

1t+ 12

0 0t41

A est inversible.

Exercice 18

Trouver une condition necessaire et susante sur2Rpour que la matrice M =0 @142 0 63 1 41 A soit inversible. 4

Exercice 19

On considere l'endomorphismef:R3!R3de matrice

M=0 @2 0 4 34 12
12 51 A dans la base canonique.

1) Determiner les reelspour lesquelsfId n'est pas inversible.

2) Pour chacun desobtenus a la question 1, choisir un vecteurv2R3n f0gtel que

f(v) =v:

3) En deduire une base deR3dans laquelle la matrice defest diagonale.

Exercice 20Determinant de Vandermonde

Soient (a;b;c;d)2R4. On considere le determinant

1a a2a3

1b b2b3

1c c2c3

1d d2d3

Montrer que

V= (ba)(ca)(da)

1b b2 1c c2 1d d2

En deduire la valeur deV.

quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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45, rue des Saints-Peres, 75006, Paris.Licence 1

Feuille de TD n

Matrices et determinants

Exercice 1

On considere les matrices suivantes :

2 3 51

1 0 2 4 1

02 3 0 11

Exercice 2

On considere les matrices suivantes :

Trouver les expressions deAn,BnetCnpour toutn2N.

Exercice 3

Soit la matriceA=0

1) CalculerA2.

2) Montrer queA2=A+ 2I.

3) En deduireA1.

Exercice 4Vrai ou faux?

SoientAetBdeux matrices carrees de dimensionnn.

1) SiAest inversible etA1=BalorsBest inversible etB1=A.

2) SiAetBsont inversibles etC=ABalorsCest inversible etC1=A1B1.

3) SiAB= 0 alorsA= 0 ouB= 0.

4) (A+B)2=A2+B2+ 2AB.

5)AB+BA= 0 ssi (A+B)2=A2+B2.

6) SiA+B=AB, alorsIAest inversible.

Exercice 5

Soient les matricesJ=0

B@0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 0 0 01

CAetA=IJ=0

B@11 0 0

0 11 0

0 0 11

0 0 0 11

1) Calculer les puissances successives deJ.

2) Que peut-on dire deIJ4? En deduire queAest inversible et calculer son inverse.

Exercice 6

Inverser les matrices suivantes :

2 1 11

2 1 31

2xyz=14

3x+ 2y+z= 15(S2)8

5y+z11x= 1(S3)8

4y+ 3z= 5

1yx= 1

1) Mettre le systeme sous forme matricielle.

2) Appliquer la methode de Gauss Jordan pour inverser la matrice du systeme.

3) Resoudre le systeme.

Exercice 8

1) Montrer que le produit de deux matrices diagonales de dimensionnnest une matrice diagonale.

2) SoitDla matrice diagonale suivante :

10 0 0

0a20 0

0 0a30

0 0 0a41

Determiner l'expression deDnpour toutn2N.

2 0 41

2 2 1 1

1 31 31

B@4 6 4

2 3 21

36 411

Exercice 10

On considere la fonctionf:R3!R3

On noteB3la base canonique deR3.

1) Montrer quefest un endomorphisme deR3.

2) Ecrire la matriceA0:= matB3;B3(f) defdans la base canoniqueB3deR3.

3) SoitB03= (u1;u2;u3) ou

1= (1;1;0)

2= (1;0;1)

3= (1;0;0)

Montrer queB03est une base deR3.

4) Ecrire la matriceA1= matB03;B3(f).

5) Ecrire la matrice de passagePdeB3aB03. Calculer la matrice deA2= matB03;B03(f).

Exercice 11

P7!P+ (1X)P0