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Microeconomie 2, DEMI2E Universite Paris-Dauphine
Cours de VincentIehleAnnee 2013-2014
FEUILLES D'EXERCICES
1Table des matieres
1 Le consommateur2
2 Economies d'echange 4
3 Optimalite de Pareto 6
4 Economies avec production 8
5 Defaillances du marche : eets externes et biens publics 10
6 Annales d'examens 121. Les exercices sont a preparer d'une semaine a l'autre en suivant une liste etablie par le charge de TD. Des exercices
supplementaires, utiles pour les revisions avant les examens, sont donnes en n de chaque partie. Sauf exception, ces
exercices ne seront pas traites en cours ou TD mais chaque etudiant peut choisir de les rendre comme devoir a son charge
de TD. 11 Le consommateur
Dans les exercices qui suivent, les preferences d'un consommateur sur des paniers de 2 biens sont representees par une fonction d'utilite u:R2+!R: (x;y)!u(x;y)1.1 Fonction d'utilite Cobb-Douglas :
u(x;y) =xy1 ou 0< <11. Determiner les proprietes de la fonctionu: continuite (justier rapidement), dierentiabilite (sur
R2++), (strictement) monotone, (strictement) (quasi)-concave.
2. Representer graphiquement les courbes d'indierence du consommateur.
3. Determiner la demande du consommateurd(p;w), en fonction du prixp= (px;py) et d'un
revenuw2R+, en calculant le cas echeant le taux marginal de substitutionTMSy!x. Analyserles proprietes de cette demande et l'exprimer en fonction d'une dotation initialee= (ex;ey)2R2+du consommateur.
4. Montrer que la fonction suivante represente les m^emes preferences :u(x;y) =lnx+(1)lny.
Refaire les calculs de la question 3 en utilisant cette specication.1.2 Fonction d'utilite Leontief :
u(x;y) = min(x;y)M^emes questions que precedemment (sauf 4.).
1.3 Fonction d'utilite lineaire :
u(x;y) =ax+y oua >0M^emes questions que precedemment (sauf 4.).
1.4 Fonction d'utilite a elasticite de substitution constante :
u(x;y) = (ax+by)1 oua;b >0 et 06=1M^emes questions que precedemment (sauf 4.).
21.5 Exercice supplementaire : Fonction d'utilite a elasticite de substitution constante
(II) Dans le cas d'une fonction d'utilite a elasticite de substitution constante (exercice 1.4) :1. Montrer que pour un choix adequat de >0 les fonctions suivantes representent aussi les m^emes
preferences : (a)u(x;y) = (x+y)1 (b)u(x;y) =(x+y).2. Montrer que si= 1, on retrouve le cas d'une fonction lineaire, si!0, on retrouve une
fonction Cobb-Douglas, si! 1on retrouve une fonction Leontief (dans les 2 derniers cas utiliser les TMS ou les courbes d'indierence).3. Etant donne une fonction de demanded(p;w) = (dx(p;w);dy(p;w)), on denit l'elasticite de
substitution par xy(p;w) =@[dx(p;w)d y(p;w)]@[pxp y]p xp yd x(p;w)d y(p;w) qui mesure la sensibilite de dx(p;w)d y(p;w)a une variation depxp y. Verier que ce coecient est independant depetw(d'ou le nom).1.6 Exercice supplementaire : Non satiation
On dit que la fonction d'utilite satisfait la condition de non satiation si pour toutx2R2+il existe x02R2+telle queu(x0)> u(x).
1. Montrer que si la stricte monotonicite est veriee alors la condition de non-satiation est veriee.
2. Montrer que la contrainte de budget est saturee a la demande si la stricte monotonicite est
veriee. Cela est-il encore vrai si la fonction d'utilite satisfait la propriete de non satiation?Sinon, construire un contre-exemple.
3. On suppose que la fonction de demande pour le premier bien est donnee pardx(p;w) =wp
x. En deduire la fonction de demande pour le second bien.1.7 Exercice supplementaire : Fonction d'utilite particuliere (dicile)
On considere la fonction d'utilite suivante :
u(x;y) =x+py Determiner la demande du consommateurd(p;w) (Il est imperatif de tracer precisement les courbes d'indierences pour se donner une idee des solutions (plusieurs cas a traiter)). 32 Economies d'echange
Dans les exercices qui suivent, on considere une economie d'echange a 2 agents (1 et 2) et 2 biens (xety). Les dotations initiales des agents sont noteesei= (eix;eiy)2R2+et leurs fonctions d'utilite u i:R2+!Ri= 1;2.2.1 Fonction d'utilite Cobb-Douglas :
u1(x;y) =x13
y23 ; u2(x;y) =x23 y13 e1= (1;1); e2= (1;2)
1. Verier si l'economie possede un equilibre concurrentiel.
2. Si oui, determinerles prixetles allocationscorrespondantes.
3. Representer les dierentes quantites dans une bo^te d'Edgeworth.
2.2 Fonction d'utilite de Leontief :
u1(x;y) =u2(x;y) = min(x;y)
e1= (2;6); e2= (1;2)
M^emes questions que precedemment
2.3 Fonction d'utilite lineaire :
u1(x;y) =ax+y; u2(x;y) =x+ayou 0< a <1
e1= (1;1); e2= (1;2)
M^emes questions que precedemment
2.4 Exercice supplementaire : Fonction d'utilite a elasticite de substitution constante
u1(x;y) = (18
x2+y2)12 ; u2(x;y) = (x2+18 y2)12 e1= (1;0); e2= (0;1)
M^emes questions que precedemment (En normalisant le prix du bieny, montrer que(px;1)est un prix d'equilibre si et seulement sip13 xest solution de l'equation(1z)(2z2+z+ 2) = 0).2.5 Exercice supplementaire : Preferences non convexes
Les dotations initiales des agents sonte1=e2= (1;1) et leurs fonctions d'utilite respectives : u1(x;y) =(
x13 y23 sixy x 23y13 six > y u