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[PDF] Fonctions négligeables et équivalentes; développements limités

Exemple 1 1 1 On a f = o(1) ⇐⇒ lim f = 0 Exemple 1 1 2 La fonction nulle o : x ↦ → 0 est négligeable devant toute fonction en tout point a (prendre ε = 

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On dit que f est négligeable devant g au voisinage de a lorsqu'il existe une Les fonctions négligeables devant la fonction nulle au voisinage de a sont les

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l'ensemble des fonctions négligeables devant g au voisinage de x0 La fonction f est négligeable devant une fonction constante non nulle si et seulement

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13 jan 2018 · Exercice : 1 Ordonner les fonctions suivantes selon la relation ”est négligeable devant ” au voisinage de +∞ x2ex, x + x2, x2 ln x , x3 ln x, ex

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Dire qu'une fonction est négligeable devant une autre sur un intervalle n'a pas de sens Notations : • la notation o est appelée notation de Landau Elle pose le 

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D'où l'ancienne notation : f ≺ g Exercice 1 Montrez que la fonction nulle est négligeable devant toutes les fonctions en tout point Correction 

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1) Fonction négligeable et sont deux fonctions définies sur un intervalle Soit un élément de ou une borne de 2) Opérations sur les fonctions négligeables

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Soient f,g deux fonctions définies sur I sauf peut-être en x0 et continues On dit que f est négligeable devant g au voisinage de x0 et on écrit f(x) = x→x0

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5 4 3 Fonction négligeable devant une autre 5 4 4 Définitions Définition 39 Soit x0 ∈ R = R ∪ {±∞} et soient f et g deux fonctions définies au voisinage de x0

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Dit autrement, si la fonction g ne s'annule pas au voisinage de a sauf peut-être en a, la fonction f est négligeable devant la fonction g si et seulement si il existe 

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Comparaisons de fonctions

Micka¨el P´echaud

2008-2009

Table des mati`eres1 D´efinitions et caract´erisations4

1.1 N´egligeabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

1.1.1 D´efinition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

1.1.2 Op´erations sur les o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

1.1.3 Un point de notation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

1.2 ´Equivalence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

1.2.1 D´efinition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

1.2.2 Op´erations sur les ´equivalents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

1.2.3 ´Equivalence et n´egligeabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

1.3 Dominance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

1.3.1 D´efinition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

1.4 Dominance et polynˆomes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

1.5 Quand les fonctions s"annulent au voisinage dea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

2 Calculs pratiques13

2.1 Polynˆomes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

2.2 Fractions rationnelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

2.3 Utilisation de d´eriv´ees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

2.4 Comparaisons des fonctions usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

2.4.1 Comparaisons en +∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

2.4.2 Comparaisons en-∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

2.4.3 Comparaisons en 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

3 Application aux calculs de limites18

3.1 Calcul de lim

x→0sin2(x)sh(x)+sh2(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

3.2 Calcul de lim

x→0?ax+bx2

1/x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

3.3 Calcul de lim

x→+∞(1 +ax )x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

Correction des exercices20

1 Ce document est sous licence Creative Commons ccpnc2.0 : http ://creativecommons.org/licenses/by-nc/2.0/fr/ En gros, vous pouvez faire ce que bon vous semble avec ce document, y compris l"utiliser pour faire

des papillotes, ou faire une performance publique (gratuite) durant lequel vous le mangez feuille par

feuille (ce que je d´econseille tout de mˆeme), aux conditions expresses que :•vous en citiez l"auteur.

•vous n"en fassiez pas d"utilisation commerciale.

Par respect pour l"environnement, merci de ne pas imprimer ce document si ¸ca n"est pas indispensable

(et ¸ca n"est pas indispensable).2

Ce document est un cours introductif sur les d´eveloppements limit´es. Il se place `a un niveau MPSI.

3

Introduction

La th´eorie de la comparaison de fonctions a pour but de donner du sens `a des propositions du type

"sin(x) ressemble `axen 0», ou encore"extend plus vite vers +∞que tout polynˆome».

Nous nous restreindrons ici `a des fonctions r´eelles, bien que les notions d´ecrites puissentˆetre g´en´eralis´ees

`a d"autres espaces.

La th´eorie d´evelopp´e ici sera utile pour approcher localement des fonctions par des polynˆomes, dans

le cadre desd´eveloppements limit´es.

1 D´efinitions et caract´erisations

1.1 N´egligeabilit´e

1.1.1 D´efinitionD´efinition 1.1.1 (N´egligeabilit´e en un point)

SoitIun intervalle deR,a?¯I. Soitf:I→R. Soitφ:I→R,ne s"annulant pas surI\{a}. On dit quefestn´egligeabledevantφau voisinage deaet on notef=ao(φ)Ssi

La n´egligeabilit´e mesure les vitesses de convergence (ou divergence) relatives de deux fonctions en

un point. Remarquez qu"on ne demande pas que les fonctions soient d´efinies au pointa: de cette mani`ere, on pourra comparer des vitesses de divergence vers±∞par exemple.

Il s"agit d"une notionlocale. Dire qu"une fonction est n´egligeable devant une autre sur un intervalle

n"a pas de sens.

Notations :•la notation o est appel´eenotation de Landau. Elle pose le probl`eme suivant : on peut avoirf=ao(φ)

etg=ao(φ) maisf?=g- c"est pourquoi on voit parfois la notationf?ao(φ), ou encoref?aφ (notation de Hardy).•Par ailleurs, on notera ´egalementf(x) =x→ao(φ(x)).

Attention `a ne pas m´elanger les deux notations : l"´ecriturex=0o(1) est par exemple incorrecte.

La caract´erisation suivante est l"outil le plus efficace pour travailler avec la notion de n´egligeabilit´e.Proposition 1.1.1

SoitIun intervalle deR,a?¯I. Soitf:I→R. Soitφ:I→R,ne s"annulant pas surI\{a}. Alors f=ao(φ)Ssilimafφ = 0 (o`u le quotient est restreint `aI\{a}siφ(a) = 0)D´emonstration : par non-nullit´e deφ, la caract´erisation se r´e´ecrit4 Ce qui est imm´ediatement ´equivalent `a la d´efinition.?

Cette proposition pourrait ˆetre prise comme d´efinition de la n´egligeabilit´e. N´eanmoins, la d´efinition

que nous avons choisie pourrait s"appliquer ´egalement `a des fonctions qui s"annulent au voisinage de

a, et est donc plus g´en´erale. En particulier,"ˆetre n´egligeable devant 0»revient dans ce cas `a ˆetre

nul au voisinage dea. En pratique, la contrainte de non-annulation surI\{a}va peu intervenir : on peut souvent trouver

un voisinage deapriv´e deatel que la fonction ne s"y annule pas, et on pourra appliquer toutes les

propri´et´es sur la restriction de la fonction `a ce voisinage. Restent les cas pathologiques du stylex→sin(1x ) en 0.Exemples •La fonction nulle est n´egligeable devant tout autre fonction en tout point.

•La relation"ˆetre n´egligeable»est transitive : sif=ao(g) etg=ao(h), alorsf=ao(h).•Une fonction est n´egligeable devant 1 (ou toute autre constante non-nulle) enaSsi limaf= 0.•Soit (α,β)?R2tels queα < β. Alorsxβ=x→0o(xα).

C"est ´evident en consid´erant la caract´erisation1.1.1.

En appliquant cette propri´et´e `a des entiers, on a donc en particulierx=x→0o(1),x2=x→0o(x),

x

3=x→0o(x2), ...•Une fonction non-nulle au voisinage dean"est jamais n´egligeable devant elle-mˆeme au voisinage

dea.

Ces d´efinitions se transposent en±∞:D´efinition 1.1.2 (N´egligeabilit´e en l"infini)

SoitIun voisinage de+∞(-∞). Soitf:I→R. Soitφ:I→R, ne s"annulant pas surI.

On dit quefestn´egligeabledevantφau voisinage de+∞(-∞) et on notef=+∞o(φ)(f=-∞o(φ)

) Ssi (?m?Rx < m)Proposition 1.1.2

Cette d´efinition est ´equivalente `a

lim

±∞fφ

= 05

On peut comme d"habitude unifier les d´efinitions poura?Roua=±∞.D´efinition 1.1.3 (N´egligeabilit´e ena?R? {±∞})SoitIun intervalle deR,a?¯I. Soitf:I→R. Soitφ:I→R,ne s"annulant pas surI\{a}.

On dit quefestn´egligeabledevantφau voisinage deaet on notef=ao(φ) Ssi pour tout? >0il existe un voisinageJdeatel que •Soit (α,β)?R2tels queα < β. Alorsxα=x→+∞o(xβ).

On a donc en particulier 1 =

x→+∞o(x),x=x→+∞o(x2),x2=x→+∞o(x3) ...

1.1.2 Op´erations sur les o

Consid´eronsa?R? {+∞} ?I,a?¯I, etf,g,hetkdes fonctions deIdansR, v´erifiant les hypoth`eses de la d´efinition. Soitλ?R?Proposition 1.1.3

•f=ao(h)etg=ao(h)?f+g=ao(h)•f=ao(h)etg=ao(k)?fg=ao(hk)•f=ao(g)?λf=ao(g)•f=ao(g)?f=ao(λg)D´emonstration :

Imm´ediat d"apr`es la caract´erisation1.1.1.

Exemple

Onx=x→+∞o(x3) etx2=x→+∞o(x3). On en d´eduit 2x2-3x=x→+∞o(x3) En revanche, on n"asurtout pasla propri´et´e suivante : f= o(h) etg= o(k)?f+g= o(h+j)

Contre-exemple:x=x→0o(1),x=x→0o(-1) mais on n"a pas 2x=x→0o(0)Proposition 1.1.4 (Composition `a droite)

Soientfetφd´efinies surItelles quef=ao(φ). Soitgune application r´eelle deJ?RdansI, etb?Jtel quelimbg=a.

Alorsfog=bo(φog)6

D´emonstration :

Toujours imm´ediat en utilisant la caract´erisation par le quotient, et la composition de limites.

Mais... on n"asurtout pasde composition `a gauche : Par exemple, on ax2=x→0o(x), mais on n"a pas exp(x2) =x→0o(exp(x))

1.1.3 Un point de notationD´efinition 1.1.4

Nous noteronsf=ag+o(h)pourf-g=ao(h).

Cette notation se comprend alors comme"fetgsont ´egales `a une fonction n´egligeable devanth pr`es».Exemples •x+x2=x→0x+ o(x).•x+x2=x→+∞x2+ o(x2).

De fa¸con plus g´en´erale, lorsque l"on raisonnera sur ce genre d"expression, il faudra"supprimer les

termes qui sont absorb´es par leo». 1.2

´Equivalence

1.2.1 D´efinitionD´efinition 1.2.1

SoitIun intervalle deR,a?Iouaune extr´emit´e deI. Soientfetg:I→R, ne s"annulant pas surI\{a}. On dit quefest´equivalentepargau voisinage deaet on notef≂agSsif-g=ao(g)

On a ici encore une caract´erisation en terme du rapport entre les deux fonctions :Proposition 1.2.1

SoitIun intervalle deR,a?Iouaune extr´emit´e deI. Soientfetg:I→R, ne s"annulant pas surI\{a}. Alors f≂gSsilimafg = 1 (o`u le quotient est restreint `aI\{a}sig(a) = 0)D´emonstration :

Par1.1.1, on a

f≂ag?(f-g) =ao(g)?limaf-gg = 0?limafg = 1? 7

En revanche, l"´equivalence ne donne aucune information directe sur ladiff´erencede deux fonction :•On peut avoirf≂ag, etf-g?→a0, consid´erer par exemplex2+xetxen +∞.•R´eciproquement, on peut avoirf-g→a0 etf?≂ag: par exemple 1/xet 1/x2en +∞.Exemples

•sin(x)≂0x. En effet, limx→0sin(x)x = limx→0sin(x)-sin(0)x-0=sin?(0) = 1.

Deux fonctions ´equivalentes en un point"convergent `a la mˆeme vitesse»en ce point.Proposition 1.2.2

≂est une relation d"´equivalence.D´emonstration :

Imm´ediat d"apr`es la caract´erisation.

Deux fonctions ´equivalentes ont naturellement la mˆeme limite au point consid´er´e.

Proposition 1.2.3

silimaf=k?R? {+∞}etf≂ag alors limag=k Voici des r´eciproques partielles :Proposition 1.2.4 silimaf= limag=k?R? alors f≂agProposition 1.2.5 f≂ak?R?Ssilimaf=k

ce qui nous dit que la notion d"´equivalence est une notion triviale pour des limites diff´erentes de 0

ou±∞. Attention, ces r´esultats deviennent faux sik= 0 ouk=∞ On a par ailleurs le r´esultat suivant :Proposition 1.2.6 sif≂ag alorsfetgont le mˆeme signe au voisinage dea.D´emonstration :

On a lim

afg = 1, donc il existe un voisinage deasur lequelfg >1/2>0. Sur un tel voisinage,fetgsont donc de mˆeme signe.8

1.2.2 Op´erations sur les ´equivalents

Proposition 1.2.7

?≂vv ?Exemples

•tan(x)≂x→0x. En effet, nous avons d´ej`a vu que sin(x)≂x→0x. On a ´egalement cos(x)≂x→01, d"o`u le

r´esultat. On peut ´egalement ´ecrire tan(x) =x→0x+ o(x).•De mˆeme, on a cotan(x)≂01/x.

Attention`a ne pas employer des op´erations illicites sur les ´equivalents :•Il n"y a pas de r`egle d"addition pour les ´equivalents:

1 +x≂x→+∞x, mais on n"a pas 1≂x→+∞0...•Il n"y a pas de r`egle de composition `a gauche pour les ´equivalents.

Mais en travaillant au cas par cas, on peut obtenir des propri´et´es du genre :Proposition 1.2.8

Soientfetgtelles quelimaf-g= 0. Alorsef≂aeg.Proposition 1.2.9 Soientfetgtelles quef≂ag, etα?R. Alorsfα≂agα.Exercice 1

D´emontrer ces propri´et´es.

correction La composition `a droite fonctionne trivialement par composition de limites : Proposition 1.2.10 (Composition `a droite d"´equivalents)

Soientfetgd´efinies surItelles quef≂ag.

Soithune application r´eelle deJ?RdansI, etb?Jtel quelimbh=a.

Alorsfoh≂bgohExemple

Nous avons montr´e que sin(x)≂0x. Grˆace `a la proposition ci-dessus, on d´eduit imm´ediatement

sin(x2)≂x→0x2, ou encore sin(e-x)≂x→+∞e-x.9 1.2.3

´Equivalence et n´egligeabilit´e

Les propri´et´es suivantes assurent la coh´erence entre les notions d"´equivalence et de n´egligeabilit´e :Proposition 1.2.11

Soientf,gtelles quef=ao(g).

Soientf?,g?telles quef≂af?etg≂ag?.

Alorsf?=ao(g?)D´emonstration :

Imm´ediat d"apr`es la caract´erisation par les quotients.

Proposition 1.2.12

Soientf,gtelles quef≂ag.

Soithtelle queh=ao(g).

Alorsf+h≂ag

i.e. on ne modifie pas une ´equivalence en ajoutantune quantit´e n´egligeabled"un cˆot´e ou de l"autre.

La d´emonstration est ici aussi imm´ediate.

1.3 Dominance

1.3.1 D´efinition

La notion de dominance est moins forte que celle de n´egligeabilit´e.D´efinition 1.3.1 SoitIun intervalle deR,a?Iouaune extr´emit´e deI. Soitf:I→R. Soitφ:I→R, ne s"annulant pas surI\{a}. On dit quefestdomin´eeparφau voisinage deaet on notef=O(φ)Ssi On a une caract´erisation similaire `a celle obtenue pour o.Proposition 1.3.1 SoitIun intervalle deR,a?Iouaune extr´emit´e deI. Soitf:I→R. Soitφ:I→R, ne s"annulant pas surI\{a}. Alors f=aO(φ)Ssi fφ est born´ee au voisinage dea (o`u le quotient est restreint `aI\{a}siφ(a) = 0)10 On a imm´ediatement la propri´et´e suivante :

Proposition 1.3.2

f=o(φ)?f=O(φ)

La r´eciproque est ´evidemment fausse, consid´erer par exemplex= O(x) en 0, maisx?= o(x) (plus

g´en´eralement, O est en fait r´eflexive.)

Les propri´et´es ´enonc´ees dans pour la n´egligeabilit´e restent valable dans le cas de la dominance.

1.4 Dominance et polynˆomes

Consid´erons des relations de n´egligeabilit´e entre polynˆomes en +∞.

D"apr`es ce que nous avons vu sur la n´egligeabilit´e, nous avons d´ej`a (avec un abus de notation)

o(1)?o(x)?o(x2)? ··· ?o(xn)?...

Nous avons de plus o(xi)?o(xi), et O(xi)?o(xi+1).

Pour ce dernier point, sif(x) =x→+∞O(xi),x→f(x)x iest born´ee au voisinage de +∞, et donc f(x)x i+1=1x f(x)x i→x→+∞0, d"o`uf(x) =x→+∞o(xi+1). On a donc l"´echelle de comparaison suivante en +∞1. o(1)?O(1)?o(x)?O(x)?o(x2)? ··· ?O(xn-1)?o(xn)?O(xn)?... On peut se demander si O(xn-1)?o(xn). La r´eponse est non, comme le montre la fonctionx→ x n/log(x) qui est o(xn) mais pas O(xn-1) comme nous le verrons plus tard.

1.5 Quand les fonctions s"annulent au voisinage dea

Nous avons fait un usage intensif des caract´erisations par quotient dans toutes les d´emonstrations

ci-dessus. Or ces caract´erisations reposent sur le fait que les fonctions compar´ees ne s"annulent pas

au voisinage du point limite consid´er´e.

Si elles s"annulent, on obtient la propri´et´e ´equivalente suivante, tr`es utile pour montrer des r´esultats.Proposition 1.5.1

SoitIun intervalle deR,a?¯I. Soitf,g:I→R.

Ssi il existe un voisinageJdeaet une fonction?:J→Rtelle quef=?get•lim a?= 0•(resp.lima?= 1)•(resp.?born´ee au voisinage dea)1 on aurait l"´echelle en sens inverse en 011

Il s"agit simplement d"une reformulation de la caract´erisation par quotients, mais adapt´ee aux points

d"annulation ´eventuels des fonctions. Cette caract´erisation peut de plus ˆetre utile y compris dans le

cas de fonctions ne s"annulant pas au voisinage dea.Exercice 2*

`A l"aide de ces caract´erisations, red´emontrer toutes les propri´et´es ci-dessus dans ce cadre plus g´en´eral.12

2 Calculs pratiques

2.1 PolynˆomesProposition 2.1.1

•Un polynˆome est ´equivalent `a son monˆome de plus haut degr´e en±∞.•Un polynˆome est ´equivalent `a son monˆome de plus petit degr´e en0.D´emonstration :

Le cas particulierP= 0 est trivial.

SoitP(X) =?M

k=makXkun polynˆome, avecaMetamnon nuls correspondants aux coefficients des monˆomes de plus haut et de plus bas degr´e.•On ´ecrit pour toutx?R?P(x)/(aMxM) =?M k=ma ka

Mx(k-M)= 1 +?M-1

k=ma ka

x→x(k-M)est de limite nulle en±∞, on en d´eduit donc que limx→±∞P(x)/(aMxM) = 1, d"o`uP(x)≂x→±∞aMxM.•On ´ecrit pour toutx?R?P(x)/(amxm) =?M

k=ma ka mx(k-m)= 1 +?M k=m+1a ka

x→x(k-m)est de limite nulle en 0, on en d´eduit donc que limx→0P(x)/(amxm) = 1, d"o`uP(x)≂x→0amxm.?

Nous avons d´ej`a vu que sip < n,xn=x→0o(xp), etxn=x→±∞o(xp)1.2.11nous donne alors imm´ediatement la propri´et´e suivante.

Proposition 2.1.2

•SoitPetQdeux polynˆomes, tels quedeg(P)> deg(Q). AlorsQ=±∞o(P)•SoitPetQdeux polynˆomes tels que le degr´e du plus petit monˆome dePsoit plus petit que celui

deQ. AlorsQ=0o(P)Exemple SoientP=X3-2XetQ=-X2. On aQ=0o(P) etQ=+∞o(P).

2.2 Fractions rationnelles

En utilisant la r`egle de quotients d"´equivalents, on obtient la propri´et´e suivante :Proposition 2.2.1

•Une fraction rationnelle est ´equivalente en±∞au quotient de ses termes de plus haut degr´e.•Une fraction rationnelle est ´equivalente en0au quotient de ses termes de plus bas degr´e.

Pour rechercher des ´equivalents en d"autres points, on devra se ramener en 0 par changement de variable2.

Exemples

2

ce qui formellement revient `a une composition `a droite : soitf(x) :I→Rune fonction, etgune bijection deI

surI. On dira que l"on fait le changement de variablex=g(t) lorsque l"on poseraf1(t) =f(g(t)). On ´etudie alors le

comportement def1, et on en d´eduit celui def=f1og-1par composition `a droite parg-1.13 •Soit f:x→-x2+ 1x 3-2x

On a alors

f(x)≂x→0-12x et f(x)≂±∞-x2x 3=-1x •Recherchons un ´equivalent de x+ 22x2-x-1 quandxtend vers 1. On effectue le changement de variablet=x-1, de telle sorte que lorsque x→1,t→0. On a alors pour toutxn"annulant pas le d´enominateur x+ 22x2-x-1=t+ 32t2+t En z´ero, d"apr`es les ´equivalences de fractions rationnelles, nous avons t+ 32t2+t≂t→03t soit x+ 22x2-x-1≂x→13x-1

2.3 Utilisation de d´eriv´eesProposition 2.3.1

Soitf:I→Reta?R. Supposons de plusfd´erivable enaetf?(a)?= 0. Alors f(x)-f(a)≂x→a(x-a)f?(x)D´emonstration : Simple r´e´ecriture de la d´efinition de la d´eriv´ee.

Attention, ce r´esultat devient compl`etement faux si la d´eriv´ee est nulle - auquel cas,fserait

´equivalente `a la fonction nulle, et donc nulle elle-mˆeme.14

Nous avons d´ej`a calcul´e un ´equivalent de sin(x) en 0 `a l"aide de cette m´ethode. D"autres ´equivalents

classiques s"en d´eduisent :Proposition 2.3.2 sin(x)≂x→0x tan(x)≂x→0x sh(x)≂x→0x th(x)≂x→0x e x-1≂x→0x ln(x)≂x→1x-1 ln(x+ 1)≂x→0x (1 +x)α-1≂x→0αx(α?R?)Exemple

Cherchons `a calculer un ´equivalent en z´ero de cos. Comme cos(0) = 1, nous avons imm´ediatement

cos(x)≂x→01.

Essayons d"ˆetre plus pr´ecis, et cherchons un ´equivalent de cos-1 en 0. On a cos(x)-1 = 2sin2(x/2).

Or sin(x)≂x→0x, d"o`u sin(x/2)≂x→0x/2 par composition `a droite.

On en d´eduit alors cos(x)-1≂x→0x2/2

Ce que l"on peut r´e´ecrire sous la forme cos(x)-1 =x→0x2/2+o(x2) ou encore cos(x) =x→01+x2/2+o(x2).

Le chapˆıtre sur les d´eveloppements limit´es expliquera comme obtenir plus syst´ematiquement ce genre

d"´equivalents.

Attention :les ´equivalents ci-dessus sont pour la plupart en 0, et ne s"appliquent pas en d"autres

points. L"´equivalence est une notion locale, et on n"a pas par exemple sin(x)≂x→1x- ces deux fonctions

n"ont mˆeme pas la mˆeme valeur en 1.

Lorsque l"on cherche `a calculer des ´equivalents en d"autres points, il faudra se ramener aux ´equivalents

connus par changement de variable.Exemple

Cherchons un ´equivalent de tan enπ/2. L"´equivalent que nous avons pour tan est en 0, et ne s"applique

donc pas ici. Effectuons un changement de variablet↔π/2-x. Pour toutx?=π/2[π], on a tan(x) = tan(π/2-t) =sin(π/2-t)cos(π/2-t)=cos(t)sin(t)= cotan(t) qui est ´equivalent en 0 `a 1/t. D"o`u tan(x)≂x→π/21π/2-x15

2.4 Comparaisons des fonctions usuelles

Dans cette section, nous donnons quelques r´esultats permettant de lever des ind´eterminations de

limites courantes. Nous allons avoir besoin du lemme suivant :Lemme 2.4.1 Soitn?Netx?R+. Alorsex≥xnn!D´emonstration :quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41