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Soient f,g deux fonctions définies sur I sauf peut-être en x0 et continues On dit que f est négligeable devant g au voisinage de x0 et on écrit f(x) = x→x0

Exemple 1 1 1 On a f = o(1) ⇐⇒ lim f = 0 Exemple 1 1 2 La fonction nulle o : x ↦ → 0 est négligeable devant toute fonction en tout point a (prendre ε =

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On dit que f est négligeable devant g au voisinage de a lorsqu'il existe une Les fonctions négligeables devant la fonction nulle au voisinage de a sont les

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l'ensemble des fonctions négligeables devant g au voisinage de x0 La fonction f est négligeable devant une fonction constante non nulle si et seulement

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13 jan 2018 · Exercice : 1 Ordonner les fonctions suivantes selon la relation ”est négligeable devant ” au voisinage de +∞ x2ex, x + x2, x2 ln x , x3 ln x, ex

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Dire qu'une fonction est négligeable devant une autre sur un intervalle n'a pas de sens Notations : • la notation o est appelée notation de Landau Elle pose le

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D'où l'ancienne notation : f ≺ g Exercice 1 Montrez que la fonction nulle est négligeable devant toutes les fonctions en tout point Correction

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1) Fonction négligeable et sont deux fonctions définies sur un intervalle Soit un élément de ou une borne de 2) Opérations sur les fonctions négligeables

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Soient f,g deux fonctions définies sur I sauf peut-être en x0 et continues On dit que f est négligeable devant g au voisinage de x0 et on écrit f(x) = x→x0

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5 4 3 Fonction négligeable devant une autre 5 4 4 Définitions Définition 39 Soit x0 ∈ R = R ∪ {±∞} et soient f et g deux fonctions définies au voisinage de x0

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Dit autrement, si la fonction g ne s'annule pas au voisinage de a sauf peut-être en a, la fonction f est négligeable devant la fonction g si et seulement si il existe

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ece?Lycee Ozenne

Annee????-????ToulouseChapitre n

o20 :

Comparaison de fonctions et de suitesDans la suite, on supposera que les fonctions sont denies sur un intervalleIsauf peut-^etre en un pointx02I,

et continues. Ce pointx0pourra designer egalement +1ou1. I EquivalenceDenition :Soientf;gdeux fonctions denies surIsauf peut-^etre enx0et continues. On dit quefest equivalente agau voisinage dex0et on ecritf(x)x!x0g(x) ouf(x)x0g(x) si : g(x)6= 0 dans un voisinage dex0(sauf peut-^etre enx0) et limx!x0f(x)g(x)= 1.Exemple : x2+ 1x

5+1car . Et en1?

x 2+ 1x 50car

BAttention!Nejamaisecrire une equivalence du typef(x)x00, cela n'a pas de sens!Propriete :Un polyn^ome enxest equivalent en1a son mon^ome de plus haut degre.

Attention, c'est le contraire en 0!Exemple :7x1350000x10+ 1010+1car

5x510x20carRegles de calcul :

•Soit`un nombrenon nul. Alorsf(x)x0`ssif(x)!x!x0`. •f(x)x0f(x) •Sif(x)x0g(x) alorsg(x)x!x0f(x) •Sif(x)x0g(x) etg(x)x!x0h(x) alorsf(x)x0h(x) •Sif1(x)x0g1(x) et sif2(x)x0g2(x) alorsf1(x)f2(x)x0g1(x)g2(x) •Sif(x)x0g(x) et sif(x)6= 0 au voisinage dex0alors1f(x)x01g(x) •Sif(x)x0g(x) etf(x)>0 au voisinage dex0alors82R, (f(x))x0(g(x))

•Sif(x)x0g(x) alorsjf(x)j x0jg(x)j:BAttention!La somme et la composition ne preservent pas l'equivalence :

•f1(x)x0g1(x) etf2(x)x0g2(x);f1(x) +f2(x)x0g1(x) +g2(x).

Contre-exemple :8

2+x+1x2

x2+x+1x2mais (x2+x) + (x2+x) = 2x+10 = (x2) + (x2). •f1(x)x0f2(x);gf1(x)x0gf2(x).

Contre-exemple :x2+x+1x2maisex2+x+1ex2carex2+xe

x2=ex2+xx2=ex!+1+1 6= 1Theoreme :Deux fonctions equivalentesfetgsont dites de m^eme nature, c'est-a-dire :

•fpossede une limite enx0ssigpossede une limite enx0et dans ce cas elles ont la m^eme limite. •fn'a pas de limite enx0ssign'a pas de limite enx0:

La recherche d'equivalents est donc un moyen pour determiner une limite!Exercice :trouver la limite en1dex2+ 1x

5(qui est une F.I. du type11

).Exemples de reference :(deja vus dans le chapitre sur les limites) •ex10x •ln(1 +x)0x •82R;(1 +x)10x. En particulier, avec=1À

2,p1 +x10x2

Exercice :Trouver la limite en 0 deex1px

Trouver la limite en +1deÈ1 +

2e1=x1ln(1 +

1x 2):

II NegligeabiliteDenition :On dit quefest negligeable devantgau voisinage dex0et on ecritf(x) =x!x0O(g(x)) ou

f(x) =x0O(g(x)) si : g(x)6= 0 dans un voisinage dex0(sauf peut-^etre enx0) et limx!x0f(x)g(x)= 0:Remarque : : f(x)x0g(x),f(x)g(x) =x0O(g(x)),f(x) =x0g(x) +O(g(x)):Exemple fondamental :

Au voisinage de 0 :x3=O(x2) carx3À

2=x!x!00 . Plus generalement, sin > palorsxn=O(xp).

Au voisinage de1:x2=O(x3) carx2À

3=1À

x!x!+10. Plus generalement, sin > palorsxp=O(xn).ece?|????-????| Lycee Ozenne 1 Comparaison de fonctions et de suites

Regles de calcul :

•f(x) =x0O(1) ssif(x)!x!x00: •Soit`un nombrenon nul. Alorsf(x) =x0`+O(1) ssif(x)!x!x0` •Sif(x) =x0O(g(x)) etg(x) =x0O(h(x)) alorsf(x) =x0O(h(x)) •82R,f(x) =x0O(g(x)),f(x) =x0O(g(x)),f(x) =x0O(g(x)) •Sif1(x) =x0O(g(x)) etf2(x) =x0O(g(x)), alorsf1(x) +f2(x) =x0O(g(x)) •Sif1(x) =x0O(g1(x)) etf2(x) =x0O(g2(x)), alorsf1(x)f2(x) =x0O(g1(x)g2(x))

•Sif(x) =x0O(g(x)) etf(x)6= 0 au voisinage dex0(sauf peut-^etre enx0), alors1g(x)=x0o1f(x)

•sif(x) =x0O(g(x)) et quef(x) etg(x) sont>0 au voisinage dex0, alors82R+;(f(x))=x0O((g(x)))Theoreme :Supposons quef(x) =x0O(g(x)).

•sig(x)!x!x00 alorsf(x)!x!x00

•sijf(x)j !x!x0+1alorsjg(x)j !x!x0+1(Bne pas oublier les valeurs absolues).Exemples de reference :cfchapitre sur les limites et notamment le theoreme des croissances comparees :

•En l'inni : x=1O(x) ssi 0< < et1x =1o1x ssi 0< < (lnx)=+1O(x)8 >0,8 >0: x=+1O(ex)8 >0,8 >0 etex=+1O(1x )8 >0,8 >0 •En 0 : (lnx)=0+O(1x )8 >0,8 >0 (car(lnx)1 x =x(lnx)!) ln(1 +x) =0x+O(x) ex=01 +x+O(x) carex10xd'ouex1 =x+O(x) soit encoreex= 1 +x+O(x). III Cas particulier des suitesDenition :Soientuetvdeux suites. On dit qu'au voisinage de +1: •uest negligeable devantv:un=O(vn) siv n6= 0 a partir d'un certain rang et limn!+1u nv n= 0 •uest equivalente av:unvnsiv n6= 0 a partir d'un certain rang et limn!+1u nv n= 1:Remarque :

•Comme on ne s'interesse qu'au comportement enn!+1, on ne le precisera pas toujours en-dessous des

symbolesouO.

•Toutes les proprietes vues dans les sections precedentes s'appliquent aux suites (qui sont des fonctions de

la variablenau lieu dex). Les reecrire ci-apres!Theoreme :Deux suites equivalentesuetvsont de m^eme nature, c'est-a-dire :

•uconverge ssivconverge et dans ce cas elles ont la m^eme limite. •udiverge vers +1(resp.1) ssivdiverge vers +1(resp.1).Theoreme :Supposons queun=O(vn). Alors : •si la suitevtend vers 0 alorsutend vers 0 •sijunj !n!+1+1alorsjvnj !n!+1+1Propriete : •si 0< < ,n=O(n) : par exemple,n2=O(n3) •si 0< < ,1n =O(1n ) : par exemple,1n

2=O(1n

•Un polyn^ome ennest equivalent a son mon^ome de plus haut degre : 7n1350000n10+ 10107n13 •etc ...ece?|????-????| Lycee Ozenne 2 Comparaison de fonctions et de suitesquotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

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