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3 5 2 Cas d'une matrice 3 × 3 non diagonalisable 3 5 4 Exercice récapitulatif ( corrigé) Que peut-on faire avec une matrice non diagonalisable? On peut

Exercice 2 Soit A la matrice de M3(R) suivante : A = 0 1 0 −4 4 0 −2 1 2 1 La matrice A est-elle diagonalisable ? 2 Calculer (A−2I3)2, puis

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Aides à la résolution et correction des exercices 7) On suppose que A est diagonalisable, c'est-à-dire qu'il existe une matrice matrice diagonale D et une

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Par conséquent, on a : avec donc étant de dimension 1, cette matrice n'est pas diagonalisable dans 2) Une matrice est toujours trigonalisable dans 3) Comme ,

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Diagonalisation en dimension deux Déterminer si les matrices suivantes sont diagonalisables (sur R ou C) Lorsque c'est le cas, Corrigé de l'exercice 1 1

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Déterminer les valeurs propres de u, et, si c'est possible, diagonaliser u Exercice 7 Soit A = (aij) une matrice d'ordre n o`u aij = 1 pour tout 1 ≤ i, j ≤

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Si l'on obtient la matrice diagonale D, dont les coefficients diagonaux sont λ1 et λ2, alors on est assuré d'avoir correctement résolu l'exercice 4 Page 5 On

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Savoir diagonaliser une matrice carrée : valeurs propres, vecteurs propres Savoir réduire à la forme triangulaire une matrice non diagonalisable Page 2 Daniel

2/3 1/3?

M? det(A-λI) = 0????? det(A-λI) = det?a11-λ a12 a

21a22-λ?

=λ2-(a11+a22)λ+ (a11a22-a12a21) ??det(A-λI) = 0? ??(A-λI)x= 0???? ?? ??????? ??? ??? ??Ax=λ???? ?? ??????? ??? ???x? ?????? ?? ??????? ?????? ??A??????? ? ?? ?????? ??????λ? 2 0? -1-λ3

2-λ=λ(λ+ 1)-6 =λ2+λ-6 = (λ+ 3)(λ-2)?

(A-(-3)I)x=?2 32 3??

x1 x 2? =?0 0? ??2x1+ 3x2= 0

2x1+ 3x2= 0?

-2? -2/3? ?-3 2?

2x2??x2=-23x1? ???? ?? ???????

????x= (x1,x2) = (x1,-2

3x1) =x1(1,-23)?? ???? ?? ???????x= (x1,x2) = (-32x2,x2) =x2(-32,1)?

(A-2I)x=?-3 3

2-2?? x1 x 2? =?0 0? ??-3x1+ 3x2= 0

2x1-2x2= 0?

?1 1? ??????? ? ?? ?? ?????(A-2I)x= 0?x= (x1,x1) =x1(1,1)??x= (x2,x2) =x2(1,1)? ???? ??? ???? (1 0 20 5 03 0 2) det(B-λI) = (5-λ)(λ-4)(λ+ 1)?Sp(B) ={-1,4,5}? ?? ???? ?? ??????? ??????? ???v1= (0,1,0) ??? ?? ??????? ?????? ??????? ?λ= 5?v2= (2,0,3)?? ??????? ?????? ??????? ?λ= 4??v3= (1,0,-1)?? ??????? ?????? ??????? ?λ=-1? y n+1=ayn????? y n=any0? y n+t

100yn=?

1 +t100?

y n??t ?????? ???y4= (1,05)4×1000 = 1215,5?????? ?xn+1=axn+byn y n+1=cxn+dyn????? ?xn+1=qxn+pyn y n+1= (1-q)xn+ (1-p)yn z n+1=?xn+1 y n+1? =?a b c d?? xn y n? =Azn.????? z n=Anz0 ?Av1=λ1v1 Av

2=λ2v2

?[Av1Av2] = [λ1v1λ2v2] ?A[v1v2] = [v1v2]?λ10

0λ2?

?? ??????[v1v2] =P??D=?λ10

0λ2?

AP=PD

A=PDP-1

A n=PDnP-1 v P -1AP=(

10... ...0

0λ20...0

0...0λk-10

0... ...0λk)

)=D? v z n+1=Azn??? z n= (Z0)1? c 1λ n

1v1+ (Z0)2????

c 2λ n

2v2+...+ (Z0)k????

c kλ n kvk ??Z0= ((Z0)1...(Z0)k)t=P-1z0? ?zn= [v1...vk]( n 10

0λn

k) )Z0=c1λn

1v1+c2λn

2v2+...+ckλn

kvk? p(λ) = det(A-λI)? ?? ????A=?-4 2 -1-1? ?pA(λ) =λ2+ 5λ+ 6?Sp(A) ={-3,-2}? ?? ????B=( (4 0-2 0 3 0

3 0-1)

)?pB(λ) = (3-λ)(λ2-3λ+ 2)?Sp(B) ={1,2,3}? ?? ????C=?4 1 -1 2? ?? ????D=?0 2 -1 2? ?pD(λ) =λ2-2λ+ 2?Sp(D) ={1 +i,1-i}? ?? ????E=( (1 3 40 2-1

0 1 2)

)?pE(λ) = (1-λ)(λ2-4λ+ 5)?Sp(E) ={1,2 +i,2-i}? ??λ1+λ2+...+λk=k? i=1λ i=tr(A)? ??λ1×λ2×...×λk=k? i=1λ i= det(A) (4 1 1 11 4 1 11 1 4 11 1 1 4) )? ? ??? ??? ?????? ?????? ??B? ????v= (a,b,c,d)?? ??????? ?????? ??????? ?λ= 3????? (B-3I)v=( (4-3 1 1 1

1 4-3 1 1

1 1 4-3 1

1 1 1 4-3)

(a b c d) (a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d) (0 0 0 0) (1 0 0 -1) (0 1 0 -1) (0 0 1 -1) -1 2? ??B=?3 00 3? ?????? ?????? ??????λ= 3? (A-3I)v=?1 1 -1-1?? v1 v 2? =?0 0? ?v1 v 2? -1? ? ????B?(B-λI)v=?0 00 0?? v1 v 2? -1 2? -1? v (A-3I)v2=v1??1 1 -1-1?? x y? =?1 -1? ??x y? =?1 0? ?? ?? ?????P= [v1v2] =?1 1 -1 0? P -1AP=?0-1 1 1?? 4 1 -1 2?? 1 1 -1 0? =?3 10 3? ?I? v

2??? ???(A-λ?I)v2=v1? ??P= [v1v2]?????

P -1AP=?λ?1

0λ??

(4 2-4 1 4-3

1 1 0)

(A-2I)v=( (2 2-4 1 2-3

1 1-2)

(x y z) (0 0 0) (1 1 1) (A-3I)v=( (1 2-4 1 1-3

1 1-3)

(x y z) (0 0 0) (2 1quotesdbs_dbs18.pdfusesText_24

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2/3 1/3?

21a22-λ?

2-λ=λ(λ+ 1)-6 =λ2+λ-6 = (λ+ 3)(λ-2)?

(A-(-3)I)x=?2 32 3??

2x1+ 3x2= 0?

2x2??x2=-23x1? ???? ?? ???????

3x1) =x1(1,-23)?? ???? ?? ???????x= (x1,x2) = (-32x2,x2) =x2(-32,1)?

(A-2I)x=?-3 3

2x1-2x2= 0?

100yn=?

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2=λ2v2

0λ2?

0λ2?

A=PDP-1

10... ...0

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0...0λk-10

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1v1+ (Z0)2????

2v2+...+ (Z0)k????

0λn

1v1+c2λn

2v2+...+ckλn

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1 4-3 1 1

1 1 4-3 1

1 1 1 4-3)

2??? ???(A-λ?I)v2=v1? ??P= [v1v2]?????

0λ??

1 1 0)

1 1-2)

1 1-3)

(A-(-3)I)x=?2 32 3??

(A-2I)x=?-3 3