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Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - Volume 6 1
Daniel ALIBERT
Espaces vectoriels. Applications linéaires. Matrices.
Diagonalisation et trigonalisation.
Objectifs :
Savoir chercher une base d"un espace vectoriel, d"un noyau, d"une image. Déterminer une matrice associée à une application linéaire. Savoir calculer avec des matrices : somme, produit, déterminant. Savoir résoudre un système d"équations linéaires : calcul, prévision et contrôle de l"ensemble des solutions. Savoir diagonaliser une matrice carrée : valeurs propres, vecteurs propres. Savoir réduire à la forme triangulaire une matrice non diagonalisable. Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - Volume 6 2
Organisation, mode d"emploi
Cet ouvrage, comme tous ceux de la série, a été conçu en vue d"un usage pratique simple. Il s"agit d"un livre d"exercices corrigés, avec rappels de cours. Il ne se substitue en aucune façon à un cours de mathématiques complet, il doit au contraire l"accompagner en fournissant des exemples illustratifs, et des exercices pour aider à l"assimilation du cours. Ce livre a été écrit pour des étudiants de première et seconde années des Licences de sciences, dans les parcours où les mathématiques tiennent une place importante. Il est le fruit de nombreuses années d"enseignement auprès de ces étudiants, et de l"observation des difficultés qu"ils rencontrent dans l"abord des mathématiques au niveau du premier cycle des universités : - difficulté à valoriser les nombreuses connaissances mathématiques dont ils disposent lorsqu"ils quittent le lycée, - difficulté pour comprendre un énoncé, une définition, dès lors qu"ils mettent en jeu des objets abstraits, alors que c"est la nature même des mathématiques de le faire, - difficulté de conception et de rédaction de raisonnements même simples, - manque de méthodes de base de résolution des problèmes. L"ambition de cet ouvrage est de contribuer à la résolution de ces difficultés aux côtés des enseignants. Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - Volume 6 3
Ce livre comporte quatre parties.
La première, intitulée "A Savoir", rassemble les définitions et résultats qui sont utilisés dans les exercices qui suivent. Elle ne contient ni démonstration, ni exemple. La seconde est intitulée "Pour Voir" : son rôle est de présenter des exemples de toutes les définitions, et de tous les résultats de la partie précédente, en ne faisant référence qu"aux connaissances qu"un étudiant abordant le chapitre considéré a nécessairement déjà rencontré (souvent des objets et résultats abordés avant le baccalauréat). La moitié environ de ces exemples sont développés complètement, pour éclairer la définition ou l"énoncé correspondant. L"autre moitié est formée d"énoncés intitulés "exemple à traiter" : il s"agit de questions permettant au lecteur de réfléchir de manière active à d"autres exemples très proches des précédents. Ils sont suivis immédiatement d"explications détaillées. La troisième partie est intitulée "Pour Comprendre et Utiliser" : des énoncés d"exercices y sont rassemblés, en référence à des objectifs. Ces énoncés comportent des renvois de trois sortes : ☺) pour obtenir des indications pour résoudre la question, ) lorsqu"une méthode plus générale est décrite, ) renvoie à une entrée du lexique. Tous les exercices sont corrigés de manière très détaillée dans la partie
3 - 2. Au cours de la rédaction, on a souvent proposé au lecteur qui
souhaiterait approfondir, ou élargir, sa réflexion, des questions complémentaires (QC), également corrigées de façon détaillée. La quatrième partie, "Pour Chercher", rassemble les indications, les méthodes, et le lexique. Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - Volume 6 4 Certains livres d"exercices comportent un grand nombre d"exercices assez voisins, privilégiant un aspect "entraînement" dans le travail de l"étudiant en mathématiques. Ce n"est pas le choix qui a été fait ici : les exemples à traiter, les exercices et les questions complémentaires proposés abordent des aspects variés d"une question du niveau du L1 L2 de sciences pour l"éclairer de diverses manières et ainsi aider à sa compréhension. Le lecteur est invité, à propos de chacun d"entre eux, à s"interroger sur ce qu"il a de général (on l"y aide par quelques commentaires) Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - Volume 6 5
Table des matières
1 A Savoir ........................................................................... 9
1-1 Espaces vectoriels ........................................... 9
1-2 Applications linéaires .................................... 15
1-3 Matrices, déterminants .................................. 18
1-4 Réduction, polynômes annulateurs ............... 24
2 Pour Voir ....................................................................... 35
2-1 Espaces vectoriels ......................................... 35
2-2 Applications linéaires .................................... 59
2-3 Matrices, déterminants .................................. 67
2-4 Réduction, polynômes annulateurs ............... 79
3 Pour Comprendre et Utiliser ......................................... 97
3-1 Énoncés des exercices ................................... 97
3-2 Corrigés des exercices ................................. 111
3-3 Corrigés des questions complémentaires .... 165
4 Pour Chercher .............................................................. 169
4-1 Indications pour les exercices ..................... 169
4-2 Méthodes ..................................................... 171
4-3 Lexique ........................................................ 175
Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - Volume 6 6
1 A Savoir
Dans cette partie, on rappelle rapidement les principales définitions et les principaux énoncés utilisés. Voir votre cours pour les démonstrations. Vous trouverez des exemples dans la partie 2*Pour Voir.
1-1 Espaces vectoriels
Définition
Soit (K, +K , ¥ K) un corps, et (E , +E) un groupe commutatif. Une structure d" espace vectoriel sur K est définie sur le groupe E par la donnée d"une loi externe de K sur E, c"est-à-dire d"une application :
K ´ E → E, (a, x) → a. x
satisfaisant aux propriétés suivantes :
1) Pour tout a de K, tout x et tout y de E, on a l"égalité :
a. (x +E y) = (a. x) +E (a. y) .
2) Pour tout a et tout b de K, et tout x de E, on a l"égalité :
(a +K b) . x = (a. x) +E (b . x) .
3) Pour tout a et tout b de K, et tout x de E, on a l"égalité :
(a ´ K b) . x = a. (b . x) .
4) Soit 1K l"élément neutre de la multiplication de K. Pour tout x de E, on
a l"égalité :
1K . x = x .
On dira aussi que E est un K- Espace Vectoriel. Les éléments de K sont souvent appelés les scalaires, et les éléments de E des vecteurs. Dans les applications, le corps sera le plus souvent R (ou C). Propriétés élémentaires découlant de la structure d"espace vectoriel : Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - Volume 6 7 On note 0K, et 0E les éléments neutres de +K et +E. Pour tout vecteur x on a l"égalité : 0
K . x = 0E .
Si on note -x l"opposé du vecteur x dans E, et -1K l"opposé de 1K dans
K, on a pour tout x de E l"égalité :
(-1
K) . x = -x .
Dans la suite, on ne mentionnera plus en indice l"ensemble correspondant à une loi, ou un élément particulier (comme +
E, ou 0K),
le contexte permettant de lever l"ambiguïté qui pourrait en résulter : + désigne aussi bien la loi d"addition de E que celle de K...
Définition
Soit E un ensemble. Une famille d"éléments de E, indexée par l"ensemble I est une application f : I → E. Par commodité dans les calculs, on note par exemple (zi)iÎI une telle application, et l"élément zi, qui serait noté dans d"autres contextes f(i), est appelé l"élément d"indice i. On notera bien que I n"est pas nécessairement un ensemble fini. La famille (zi)iÎI n"est pas la même chose que l"ensemble {zi | iÎI}. Soit E un K-espace vectoriel, I un ensemble d"indices, soit (zi)iÎI une famille d"éléments de K ayant la propriété suivante (la famille est appelée "famille presque nulle") : "l"ensemble des éléments i tels que z i soit différent de 0 est fini".
Soit (z
i)iÎI une famille d"éléments de E indexée par I,
L"élément de E défini par :
z=zi.zi iÎI∑ est la combinaison linéaire de la famille (z i)iÎI associée à la famille (zi)iÎI : cette somme a bien un sens, puisque par hypothèse seul un nombre fini de termes ne sont pas nuls. Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - Volume 6 8
Définition
Soit E un K- espace vectoriel, et F une partie de E. On dit que F est un sous-espace vectoriel de E si :
1) (F, +) est un sous-groupe de (E, +).
2) La loi externe se restreint à F, c"est-à-dire en une application :
K ´ F → F,
ayant les propriétés 1) à 4) exigées pour les espaces vectoriels.
Proposition
Une partie F d"un espace vectoriel E est un sous-espace vectoriel si et seulement si les trois conditions suivantes sont vérifiées :
1) Pour tout x et tout y de F, x + y est un élément de F,
2) Pour tout x de F, et tout a de K, a.x est un élément de F,
3) 0E est un élément de F.
Soit E un espace vectoriel, (Fi)iÎI des sous-espaces de E, en nombre fini ou non, et F l"intersection des sous-espaces vectoriels F i.
Alors F est un sous-espace vectoriel de E.
Par contre le résultat analogue n"est pas vrai pour la réunion de sous- espaces vectoriels. Soit A une partie de E, il existe un plus petit sous-espace vectoriel (pour la relation d"inclusion) contenant A. Ce sous-espace est l"intersection de tous les sous-espaces vectoriels contenant A.
Définition
Le plus petit sous-espace contenant A s"appelle le sous-espace vectoriel engendré par A. On le note vect(A). Le sous-espace vect(A) est l"ensemble des combinaisons linéaires d"éléments de A. Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - Volume 6 9
Définition
Soient F et G des sous-espaces de E. On appelle somme de F et G, et on note F + G le sous-espace vectoriel engendré par F È G. D"après la description générale donnée ci-dessus, on voit que F + G est l"ensemble des sommes d"un élément de F et d"un élément de G. Si de plus F Ç G = {0}, on dit que F et G sont en somme directe, et on note cette somme F Å G. Si F Å G = E, on dit que F et G sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires.
Définition
On dit qu"une famille (zi)iÎI d"éléments d"un espace vectoriel E est une famille génératrice de E si tout élément z de E peut s"écrire comme une combinaison linéaire de (zi)iÎI pour une famille de scalaires (zi)iÎI presque nulle, c"est-à-dire sous la forme d"une somme d"un nombre fini d"éléments : z = zizi iÎI∑.
Définition
Soit (xi)iÎI une famille d"éléments d"un espace vectoriel E. On dit que (xi)iÎI est une famille libre si pour toute famille presque nulle d"éléments de K, (xi)iÎI , l"implication suivante est vraie : xixi iÎI∑=0 ⇒ xi = 0 pour tout i de I. On dit encore que les éléments de la famille (xi)iÎI sont indépendants (sous-entendu : entre eux). Si la famille (xi)iÎI n"est pas libre, on dit qu"elle est liée. On dira aussi que les éléments de la famille sont liés, ou dépendants.
Dans ce cas il existe une famille (x
i)iÎI presque nulle de scalaires non tous nuls telle que : Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - Volume 6 10 xixi=0 iÎI∑. Une telle relation est appelée une relation de dépendance entre les
éléments de la famille (x
i)iÎI. Dans une famille liée, un élément au moins est combinaison linéaire des autres.
Définition
Soit (xi)iÎI une famille libre, et E´ = vect((xi)iÎI). Pour le sous-espace E´, la famille (xi)iÎI est donc une famille à la fois libre et génératrice. Une telle famille est appelée une base de E´. Soit (xi)iÎI une base de E, et x un vecteur quelconque. La famille étant génératrice, x s"écrit comme une combinaison linéaire des (x i)iÎI, et la famille étant libre les coefficients de la combinaison linéaire sont déterminés de manière unique : on dit que ce sont les coordonnées de x dans la base (x i)iÎI .
Théorème
(théorème de la dimension) Soit E un espace vectoriel ayant une base à n éléments.
1) Toute base de E a n éléments.
2) Toute famille génératrice de E a au moins n éléments. Une telle famille
est une base si et seulement si elle a exactement n éléments.
3) Toute famille libre de E a au plus n éléments. Une telle famille est une
base si et seulement si elle a exactement n éléments. L"entier n ainsi attaché à E s"appelle la dimension de E. On note n = dim(E). On dit que E est de dimension finie.
L"espace réduit à 0 est de dimension 0.
Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - Volume 6 11
Théorème
(théorème de la base incomplète)
Soit E un espace vectoriel et (x
1, ... , xn) une famille génératrice de E.
Soit (y1, ... ,ym) une famille libre, non génératrice de E. Il existe des éléments (xi1, xi2, ... , xik) de la famille (x1, ... , xn) tels que la famille (y1, ... ,ym , xi1, xi2, ... , xik) soit une base de E. En particulier cet énoncé montre qu"un espace ayant une famille génératrice finie a une base finie.
Proposition
Soit E un espace vectoriel de dimension finie.
Si dim(F) = dim(E), alors F = E.
2) Soient F et F´ des sous-espaces de E, on a la relation suivante :
dim(F + F´) = dim(F) + dim(F´) - dim(F " F´).
3) Tout sous-espace F admet un supplémentaire F´ dans E.
On a l"égalité dim(F´) = dim(E) - dim(F).
1-2 Applications linéaires
Définition
Soient E et F des espaces vectoriels sur un corps K, et f une application de E dans F. On dit que f est une application linéaire si les propriétés suivantes sont vérifiées :
1) Pour tout x et tout y de E, on a l"égalité :
f(x + y) = f(x) + f(y).
2) Pour tout x de E, et tout a de K, on a l"égalité :
f(a.x) = a.f(x). Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - Volume 6 12 Une application linéaire f a les propriétés suivantes. Si 0E est l"élément neutre de E, et 0F l"élément neutre de F : f(0
E) = 0F.
L"image d"une combinaison linéaire : a
0x0 + ... + anxn
est la combinaison linéaire : a
0f(x0) + ... + anf(xn ).
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[PDF] Sujet de lannée 2006-2007 - Exo7 - Exercices de mathématiques