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Déterminer les valeurs propres de u, et, si c'est possible, diagonaliser u Exercice 7 Soit A = (aij) une matrice d'ordre n o`u aij = 1 pour tout 1 ≤ i, j ≤

Exercice 2 Soit A la matrice de M3(R) suivante : A = 0 1 0 −4 4 0 −2 1 2 1 La matrice A est-elle diagonalisable ? 2 Calculer (A−2I3)2, puis

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Aides à la résolution et correction des exercices 7) On suppose que A est diagonalisable, c'est-à-dire qu'il existe une matrice matrice diagonale D et une

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Par conséquent, on a : avec donc étant de dimension 1, cette matrice n'est pas diagonalisable dans 2) Une matrice est toujours trigonalisable dans 3) Comme ,

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3 5 2 Cas d'une matrice 3 × 3 non diagonalisable 3 5 4 Exercice récapitulatif ( corrigé) Que peut-on faire avec une matrice non diagonalisable? On peut

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Diagonalisation en dimension deux Déterminer si les matrices suivantes sont diagonalisables (sur R ou C) Lorsque c'est le cas, Corrigé de l'exercice 1 1

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Déterminer les valeurs propres de u, et, si c'est possible, diagonaliser u Exercice 7 Soit A = (aij) une matrice d'ordre n o`u aij = 1 pour tout 1 ≤ i, j ≤

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Si l'on obtient la matrice diagonale D, dont les coefficients diagonaux sont λ1 et λ2, alors on est assuré d'avoir correctement résolu l'exercice 4 Page 5 On

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Savoir diagonaliser une matrice carrée : valeurs propres, vecteurs propres Savoir réduire à la forme triangulaire une matrice non diagonalisable Page 2 Daniel

Feuille d"exercices 3 : Diagonalisation

Exercice 1.Lorsque c"est possible, diagonaliser les matrices suivantes : (-1 1 0 0-1 1

1 0-1))

,((2-1 1 1 0-1

2-2 1))

,((((3-3-4-1

0 2 0-1

2-4-3 0

0 2 0-1))))

(1 0 0 01 1-1 1

2-1 1 1

3-1-1 3))))

,((((3-1 7-14

4-1 7-15

0 0 3-4

0 0 2-3))))

Exercice 2.Pour quelles valeurs dea,betcles matrices suivantes sont-elles diagonalis- ables ? (1a1 0 1b

0 0c))

,((0 0a 0 0b a b c))

Exercice 3.La matriceA=((1 1 00 1 20-1 1))

est-elle diagonalisable surR? surC? Exercice 4.Soientaun r´eel etfl"endomorphisme deR3dont la matriceApar rapport `a la base canonique est donn´ee par

A=((2-1 1

-1a1

1 1 2))

(i) Calculer le d´eterminant deA. Pour quelles valeurs du param`etreale noyau def n"est-il pas r´eduit `a{0}? Justifier.

(ii) Montrer que le polynˆome caract´eristiquePdefv´erifieP(λ) = (3-λ)Q(λ), o`uQ(λ)

est un polynˆome que l"on d´eterminera. Pour quelle(s) valeur(s) deale nombre 3 est-il racine multiple deP? (iii) D´eterminer, en fonction dea, les valeurs propres def, leurs multiplicit´es et la dimen- sion des sous espaces propres associ´es. Que pouvez-vous enconclure ? Exercice 5.Diagonaliser la matriceAsuivante et calculerAn:

A=((-1 2 3

0-2 0

1 2 1))

;A=((1 3 03-2-1

0-1 1))

Exercice 6.Soitul"application suivante :

u:R2[X]→R2[X], P→(2X+ 1)P-(X2-1)P?

Montrer queuest bien d´efinie et lin´eaire. D´eterminer les valeurs propres deu, et, si c"est

possible, diagonaliseru. (i) Sans calculer le polynˆome caract´eristique deA, montrer que 0 est une valeur propre, et d´eterminer le sous-espace propre associ´e. (ii) Que dire de la multiplicit´e de cette valeur propre ? (iii) Calculer la trace deA. En d´eduire le spectre deA. (iv)Aest-elle diagonalisable ? Exercice 8.Soitnun entier, avecn≥3. Soitfl"endomorphisme deRndont la matrice dans la base canonique est

A=((((((0 0···0 1

0 0···0 1............

0 0···0 1

1 1···1 1))))))

(i) D´eterminer Kerf. Quel est le rang def? (ii) Montrer queλest une valeur propre non nulle defsi et seulement si elle v´erifie

2-λ-(n-1) = 0 (on ne cherche pas `a calculer le polynˆome caract´eristique).

(iii) En d´eduire quefest diagonalisable et pr´eciser ses valeurs propres, leursmultiplicit´es,

et les sous espaces propres associ´es.

Exercice 9.On consid`ere la matrice

A=??3-2-1

2-1 1

6 3-2??

Calculer son polynˆome caract´eristique, calculerA2et d´eduire de ces calculs et du th´eor`eme

de Hamilton-Cayley l"inverse deA. Exercice 10.(a) SoitAune matrice carr´ee d"ordrenquelconque, `a coefficients r´eels, qui v´erifie l"identit´eA3-2A2-A+ 2In= 0. Montrer queAest inversible et diagonalisable. (b) SoitAune matrice inversible deMn(K) (K=RouC). Montrer qu"il existe un polynˆomeP?K[x] tel queA-1=P(A). (c) D´eterminer toutes les matricesAdeM(2,R) telles queA2-3A+ 2I2= 0.

Exercice 11.SoitJ=?

1 2121
212?
etA=?0J J0? . CalculerA2, puisA3. A l"aide d"un polynˆome annulateur deA, montrer queAest diagonalisable. Sans chercher `a calculer le polynˆome caract´eristique deA, donner un ensemble fini contenant toutes les valeurs propres deA, puis donner les valeurs propres elles mˆemes ainsi que leurs multiplicit´es. En d´eduire le polynˆome caract´eristique deA. 2quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

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[PDF] Sujet de lannée 2006-2007 - Exo7 - Exercices de mathématiques