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Cours de mécanique
M23 - Changement de référentiels
référentiels non galiléensTable des matières
1 Introduction2
2 Formule de Bour et lois de composition
22.1 Définition
22.2 Loi de composition des vitesses
22.3 Loi de composition des accélérations
33 Simplification des lois de composition dans le cas de mouvements particuliers de
R ?par rapport àR33.1 Cas d"un mouvement de translation
33.2 Rotation uniforme
44 Lois dans les référentiels non galiléens
44.1 Référentiel galiléen ou non galiléen
44.2 RFD en référentiel non galiléen
54.3 TMC en référentiel non galiléen
64.4 TEC en référentiel non galiléen
65 Références6
1 Mécanique 2 M23 - Changement de référentiel 1. Introduction1 IntroductionDepuis le début du cours de mécanique, l"étude des mouvements s"est fait par rapport à des
référentiels particulier c"est à dire dans lesquels les lois de Newton sont valables : ces référentiels sont
de type galiléen qui sont en mouvement rectiligne uniforme les uns par rapport aux autres.Nous allons voir ici comment faire dans le cas où le référentiel d"étude est en mouvement quelconque
par rapport à un référentiel galiléen : la modification des lois pour tenir compte du caractère non
galiléen du référentiel d"étude fera apparaître de nouveaux termes spécifiques à ces problèmes.
2 Formule de Bour et lois de composition
2.1 Définition
Laformule de Bour(mathématicien français du 17ème siècle) permet de relier la variation dans le temps d"un vecteur dans un référentielRfixe avec celle de ce même vecteur dans un référentielR?, en mouvement quelconque par rapport àR: ?d-→Udt /R=?d-→Udt /R?+-→ΩR?/R?-→U(1)•O uy-→ uz-→ ux(R)•O"-→ uy-→ uz-→ ux(R?)Figure1 - RéférentielRetR?Le vecteur-→ΩR?/R=--→ΩR/R?représente la rotation du référentielR?par rapport au référentiel
R.2.2 Loi de composition des vitesses
La formule de Bour peut s"appliquer à n"importe quel vecteur, notamment au vecteur vitesse d"un point M. Soit--→OMle vecteur position de M dans le référentielR, on peut écrire :OM=--→OO?+---→O?M(2)
Donc :
?d--→OMdt /R=( d--→OO?dt /R+( d---→O?Mdt /R(3) 2 Mécanique 2 M23 - Changement de référentiel 2.3 Loi de composition des accélérationsEn appliquant la formule de Bour au vecteur
---→O?M: ?d--→OMdt /R=( d--→OO?dt /R+( d---→O?Mdt /R?+-→ΩR?/R?---→O?M d--→OMdt /R=( d--→OO?dt /R+-→ΩR?/R?---→O?M+( d---→O?Mdt /R? Explicitons les adjectifs de vitesse utilisés : La vitesse absolue est la vitesse de M dans le référen tielfixe ( R). La vitesse relativ eest la vitesse de M dans le référen tielen mouv ement( R?).-La vitesse d"entrainement est la vitesse qu"aurait M s"il était fixe dans le référentiel en mouvement.
2.3 Loi de composition des accélérations
Si on dérive la loi de composition des vitesses par rapport au temps dans le référentiel fixeR, on
obtient la loi de composition des accélérations, qui s"écrit :Avec :
-→aabsoluel"accélération du point M dans le référentiel fixeR:-→a(M)/R.-→arelativel"accélération du point M dans le référentiel en mouvementR?:-→a(M)/R?.
l"accélération qu"aurait le point M s"il était fixe dansR?.Attention,
-→acoriolis= 2-→ΩR?/R?-→v(M)/R?(Coriolis, ingénieur français, 19èmesiècle).
3 Simplification des lois de composition dans le cas de mouvements
particuliers deR?par rapport àR Ces formules sont complexes, mais dans le cas où l"on a uniquement translation, ou uniquement rotation, les expressions se simplifient :3.1 Cas d"un mouvement de translation
Dans ce cas,
-→ΩR?/R=-→0. Ainsi : 3 Mécanique 2 M23 - Changement de référentiel 3.2 Rotation uniforme3.2 Cas d"un mouvement de rotation uniforme autour d"un axe fixe
On cherche à obtenir l"expression de l"accélération d"entraînement.On considère que le référentielR?est en rotation uni-
forme autour de son axe-→ez?confondu avec-→ez. O et O" sont confondus.On a donc-→ΩR?/R=θ-→ez.•O
uy-→ uz-→ ux(R)-→ uy-→ ux(R?)θθFigure2 - Rotation uniforme de
R ?par rapport àR Soit un point M repéré dans le référentielR?par---→O?M= r-→ex?+z-→ez?.Calculons la vitesse d"entraînement :
ventrainement=( d--→OO?dt) /R+-→ΩR?/R?---→O?M(7) -→ΩR?/R?---→O?M(8) =rθ-→ey?(10)•O uy-→ uz=-→uz?-→ ux-→ uy-→ uxθθ•H •Mr zFigure3 - Repérage d"un point M
lors d"une rotation uniforme Calculons l"accélération d"entraînement : -→0 +-→0 +-→ΩR?/R?-→ventrainementcard-→ΩR?/Rdt =-→0(rotation uniforme) (12)θ-→ez??rθ-→ey?(13)
=-rθ2-→ex?(14) On écrit souvent celle-ci en utilisant H, le projeté de M sur -→ez: aentrainement=-θ2--→HM(15)4 Lois de la physique dans les référentiels non galiléens
4.1 Référentiel galiléen ou non galiléen
Depuis le secondaire, nous savons qu"un référentiel est galiléen si dans celui-ci la première loi de
Newton est vérifiée; et que tous les référentiels galiléens sont en translation rectiligne uniforme les
uns par rapport aux autres.Cette dernière affirmation implique que l"accélération d"entraînement et l"accélération de Coriolis sont
nulles dans un référentielR?en translation rectiligne uniforme par rapport à un référentielRgaliléen.
4 Mécanique 2 M23 - Changement de référentiel 4.2 RFD en référentiel non galiléen4.2 Relation fondamentale de la dynamique en référentiel non galiléenSoitRgun référentiel galiléen etR?un référentiel non galiléen. On appelle-→Fla résultante des
forces. On a, dansRg:-→F=m-→a(M)/Rg(16) Or d"après ce que l"on a vu précédemment, on peut écrire :D"où :
Ainsi, on peut écrire la relation fondamentale de la dynamique dans un référentiel non galiléenR?
de la manière suivante :-→F+-→Fie+-→Fic=m-→a(M)/R?(20)Avec :
-→Fie=-m-→aeune force virtuelle appelée force d"inertie d"entraînement;-→Fic=-m-→acune force virtuelle appelée force d"inertie de Coriolis.
Ces deux forcesne sont pas réelles car elles n"existent que dans un référentiel donné. Elles sont nulles dans tout référentiel galiléen.Cas de la rotation uniforme autour d"un axe fixe
Écrivons la relation fondamentale de la dynamique dans leréférentiel galiléendu laboratoire : -→F=m-→a/Rg(21) -→T=m-→a/Rg(23) On peut projeter cette relation dans la base de Frenet, on a : Sur -→t:at=dvdt = 0(rotation uniforme) (24) Sur -→n:an=v2r =Tm (25)•H•MP-→
R-→
T-→
n-→ t-→ uzFigure4 - Rotation uniforme vue d"un référentiel galiléenSi la rotation a pour vitesse angulaireω=
θ,v=rθ, on peut écrire que le point M est retenu sur sa trajectoire circulaire par la force-→T=-mθ2--→HM. 5 Mécanique 2 M23 - Changement de référentiel 4.3 TMC en référentiel non galiléen -Écrivons maintenant la relation fondamentale de la dynamique dans le référentiel tournant lié au pointM,référentiel non galiléen:
-→F=m-→a/R?(26)On a toujours
-→P+-→R=-→0. On a mais le point M n"a pas de vitesse dansR?, donc-→Fic=-→0.•H•MP-→
R-→
T-→
Fie-→
uzFigure5 - Rotation uniforme vue d"un référentiel non galiléenEnfin de la même manière, si le point M n"a pas de vitesse dansR?, il n"a pas d"accélération,
donc-→a/R?=-→0.Finalement :
Il y a doncéquilibre de M dans le référentiel tournant. Cette force d"inertie-→Fiereprésente
la force centrifuge ressentie par M au cours de son mouvement de rotation.4.3 Théorème du moment cinétique en référentiel non galiléen
Basé sur le même principe que l"établissement de la relation fondamentale de la dynamique dans
R?non galiléen, on peut écrire le TMC dans ce même référentiel (d"origine O") : d--→LO?(M)/R?dt /R?=--→MO?(-→F) +--→MO?(-→Fie) +--→MO?(-→Fic)(29)4.4 Théorème de l"énergie cinétique en référentiel non galiléen
EEn effet, la force de Coriolis ne travaille pas :
-→Fic= 2-→ΩR?/R?-→v/R?donc la puissance de cette forceP=-→Fic·-→v/R?= 0car-→Fic?-→v/R?.
Et le travail élémentaire de cette force estδW=P dt= 0d"oùWAB(-→Fic) = 0.quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41