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Chapitre 1

Changements de bases.

SoitEunK¡espace vectoriel de dimensionn6= 0. Soit (e1;:::;en) une base deE, qu'on B B@x 1 x n1 C u=0 B B@x 1 x n1 C CA. En e®et, d'aborduest un vecteur de l'espace vectorielE, qui n'est pas toujours K cette nouvelle base ne sera pas la m^eme que dans l'ancienne base (e1;:::;en). canonique deKnsont exactement ses composantesx1,...,xn. Dans ce cas (mais seulement dans B B@x 1 x n1 C CA!

Soiente01,...,e0nnvecteurs deE. On se pose la question suivante : µa quelle condition les vecteurs

e

01,...,e0nforment-ils une base deE?

seulement si ils forment une famille libre. e

01,...,e0nforment une famille libre deEsi et seulement siC1,...,Cnforment une famille libre de

K n. En¯n, on sait que les vecteursC1,...,Cnforment une famille libre deKnsi et seulement si la matrice dont les colonnes sontC1,....,Cnest une matricen£ninversible.

Ceci montre la proposition suivante :

Proposition 1.1.1

Soiente01,...,e0nnvecteurs deE. SoientC1,....,Cnles colonnes des coor- 1

2CHAPITRE 1. CHANGEMENTS DE BASES.

estCj. Alors les vecteurse01,....,e0nforment une base deEsi et seulement si la matricePest inversible.

Soitu2Eet soitX=0

B @x 1... x n1 C (e01;:::;e0n)? Soient(e1;:::;en)d'une part et(e01;:::;e0n)d'autre part, deux bases deE. Soit du vecteurudans la base(e1;:::;en)estX=0 B @x 1... x n1 C

C'est µa dire :0

B @x 1... x n1 C A=P0 B @x 01... x 0n1 C A:

Preuve :

u=x1e1+:::+xnenetu=x01e01+:::+x0ne0n: 8>< :e

01=p1;1e1+¢¢¢+pn;1en(1µere colonne deP)

e

0n=p1;ne1+¢¢¢+pn;nen(niµeme colonne deP)

uci-dessus. On trouve : u=x01(p1;1e1+p2;1e2+:::+pn;1en) +:::+x0n(p1;ne1+p2;ne2+:::+pn;nen); ce qui donne :

u= (p1;1x01+p1;2x02+:::+p1;nx0n)e1+(p2;1x01+p2;2x02+:::+p2;nx0n)e2+:::+(pn;1x01+pn;2x02+:::+pn;nx0n)en:

dans la basee1,...,en. On a donc : 8>>>< >>:x

1=p1;1x01+p1;2x02+:::+p1;nx0nx

2=p2;1x01+p2;2x02+:::+p2;nx0n...

x n=pn;1x01+pn;2x02+:::+pn;nx0n;

Autrement dit :X=PX0.

1.1. CHANGEMENT DE COORDONN

On teste la formuleX=PX0sur le premier vecteur de la nouvelle base,e01. On sait que la sait que pour n'importe quelle matriceA, le produit deApar la colonne0 B BB@1 0 01 C

CCAest la premiµere

colonne deA. On a donc P 0 B BB@1 0 01 C

CCA= 1µere colonne deP=0

B BB@p 1;1 p

2;1...

p n;11 C CCA:

Or la colonne

0 B BB@1 0 01 C colonne 0 B BB@p 1;1 p

2;1...

p n;11 C vecteure01. Exemple :SoitR4muni de la base canonique (e1;:::;e4). Soient les vecteurse01,...,e04deR4 e 01=0 B B@1 2 0 01 C

CAe02=0

B B@0 1 0 01 C

CAe03=0

B B@0 0 2 11 C

CAete04=0

B B@0 0 1 21
C CA. e01,e02,e03,e04forment une base deR4. On remarque que les coor-

ces trois vecteurs, sinon sa premiµere composante serait nulle. Donc les quatre vecteurse01,e02,e03,

e u=0 B B@1 1 1 11 C

CA. La colonne0

B B@1 1 1 11 C base (e01;e02;e03;e04). Ecrivons la matrice de passagePde la base canonique (ancienne base) µa la nouvelle base.

4CHAPITRE 1. CHANGEMENTS DE BASES.

P=0 B

B@1 0 0 0

2 1 0 0

0 0 2 1

0 0 1 21

C CAe 1 e 2 e 3 e 4 e

01e02e03e04.

µa dire :

8 >:x 01= 1 x

02=¡1

2x03+x04= 1

3x04= 1d'oµu8

>:x 01= 1 x

02=¡1

x

03= 1=3

x

04= 1=3

B B@1 ¡1 1=3 1=31 C CA 3 e03+1 3 e04: calculerP¡1. Alors le fait quePsoit inversible montre que (e01;e02;e03;e04) est une base deR4. bases deEet soient(v1;:::;vn)et(v01;:::;v0n)deux bases deF. SoitAla matrice defdans les bases(u1;:::;up)et(v1;:::;vn)et soitA0la matrice defdans les bases(u01;:::;u0p)et(v01;:::;v0n). AppelonsPla matrice de passage de la base(u1;:::;up)µa la base(u01;:::;u0p)etQla matrice de passage de la base(v1;:::;vn)µa la base(v01;:::;v0n). Alors on a la formule suivante : A

0=Q¡1AP:

Preuve :La preuve est µa conna^³tre, car il faut ^etre capable de retrouver la formule. On va matriceQest la matrice deidFdans les bases (v01;:::;v0n) et (v1;:::;vn). La matriceA0est la La matricePest la matrice deidEdans les bases (u01;:::;u0p) et (u1;:::;up). La matriceAest la seule matrice, on a

AP=QA0.

etY=QY0. On substituePX0µaXetQY0µaYdans la formuleY=AX. On trouveQY0=

1.2. FORMULE DE CHANGEMENT DE BASE POUR UNE APPLICATION LIN

APX A

0=Q¡1AP.

Exemple :Soitf:R2!R3

(x;y)!(2x+ 3y;x;x¡y). Appelons (e1;e2) la base canonique deR2et ee1;ee2;ee3) la base canonique deR3. La matrice defdans les bases canoniques deR2etR3 est0 @2 3 1 0

1¡11

A :On donneu1= (1;2) etu2= (0;1) deux vecteurs deR2. Ils forment une v v :0 =®+¯

1 =¡®+ 2¯

2 =¯et ce systµeme n'a pas de solution, doncv1,

v la base canonique deR2µa la base (u1;u2) estP=µ1 0 et la matrice de passage de la base canonique deR3µa la base (v1;v2;v3) estQ=0 @1 1 0

¡1 2 1

0 1 21

A :On inverse la matriceQ.

On trouveQ¡1=1

5 0 @3¡2 1

2 2¡1

¡1¡1 31

A :Le produitQ¡1APdonneA0=1 5 0 @21 8 19 7

¡12¡61

A :Ceci signi¯e quef(u1) =1 5 (21v1+ 19v2¡12v3) etf(u2) =1 5 (8v1+ 7v2¡6v3). SoientAetA0deux matrices deMn;p(K). Si il existe deux matrices inver- siblesP2 Mp(K)etQ2 Mn(K)telles queA0=Q¡1AP, on dit queAetA0sont des matrices A

0=P¡1AP, on dit queAetA0sont des matrices semblables.

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